강서구고1수학과외: 항등식에서 x=0, 1, -1을 고르는 이유
대일고등학교, 명덕여자고등학교, 공항고등학교 등 강서구의 학교별 내신 일정에 따라 복잡한 항등식 풀이를 짧게 정리해야 하는 상황이 생길 수 있다. 이때 값을 대입해 양변이 한 번 맞는 것과, 모든 x에서 성립함을 보이는 것은 전혀 다르다.
x=0에서 맞았다는 답안이 왜 부족한가
“x=0을 대입하면 좌변과 우변이 모두 -2이므로 항등식이 성립한다.”
예를 들어 다음 식에서 미지수는 a, b, c이다.
(x+1)(ax2+bx+c) ≡ x3+4x2+x-2
x=0을 대입하면 좌변은 c, 우변은 -2이므로 c=-2를 얻는다. 그러나 이는 상수항 하나에 대한 정보일 뿐이다. x=0에서 양변이 같다는 사실만으로 다른 x에서도 두 다항식이 같다고 결론 내릴 수 없다. 학생의 오류는 바로 이 결론을 적은 다음 줄에 있다.
세 값은 임의의 숫자가 아니라 계수를 드러내는 선택이다
양변을 전개하면
(x+1)(ax2+bx+c)=ax3+(a+b)x2+(b+c)x+c
이다. 우변의 항을 같은 차수 순서로 배열하면
x3+4x2+x-2
가 된다. 빠진 항이 있다면 그 계수도 0으로 적어야 한다. 따라서 계수 비교로
- x3의 계수: a=1
- x2의 계수: a+b=4
- x의 계수: b+c=1
- 상수항: c=-2
를 얻는다. 실제로 a=1, c=-2이고 b=3이다. 그러면 좌변은
(x+1)(x2+3x-2)=x3+4x2+x-2
가 되어 모든 x에 대해 같음이 확인된다.
0, 1, -1을 대입할 때 생기는 서로 다른 정보
계수를 직접 비교하기 전에 특정 값을 대입하는 방법을 쓸 수도 있다. x=0은 상수항을 바로 드러낸다. x=1은 모든 계수의 합을, x=-1은 부호가 번갈아 반영된 계수의 결합을 보여준다.
위 식에서는
- x=0: c=-2
- x=1: a+b+c=4
- x=-1: -a+b-c=0
이 세 식을 함께 사용해야 a, b, c를 결정할 수 있다. 즉 세 값을 고르는 이유는 한 점에서 식을 확인하기 위해서가 아니라, 미지 계수에 대해 서로 다른 관계를 만들어 내기 위해서다. 다만 값을 몇 개 대입해 얻은 관계만으로 항등식 전체가 증명되는지 여부는 미지수의 개수와 식의 구조를 함께 살펴야 한다. 계수 비교는 모든 차수의 관계를 직접 확인하는 방법이다.
답안에 남겨야 할 풀이의 연결
학생이 다음 문제를 풀 때에는 식을 먼저 전개한 뒤
ax3+(a+b)x2+(b+c)x+c
와 같이 차수별로 배열한다. 우변에 x3, x2, x, 상수항을 차례로 맞추고, 해당 항이 없으면 계수를 0으로 쓴다. 그 뒤 a=1, b=3, c=-2를 구하고 원래 곱셈식에 다시 넣어 전개한다.
이 과정이 있으면 “x=0에서 같으므로 항등식”이라는 잘못된 문장이 사라진다. 특히 x=0을 선택한 근거는 상수항을 분리하기 위해서이고, x=1과 x=-1은 남은 계수들의 관계를 다르게 얻기 위해서라고 설명해야 한다.
조건을 바꾼 식에서 확인하는 방법
연습한 식을 그대로 다시 풀지 않고 다음 항등식으로 바꾼다.
(x-2)(px2+qx+r) ≡ x3-x2-8x+8
양변을 전개하면
px3+(q-2p)x2+(r-2q)x-2r
이다. 계수 비교 결과는 p=1, q=1, r=-4이다. 실제로
(x-2)(x2+x-4)=x3-x2-6x+8
가 되어 우변의 -8x와 맞지 않는다. 따라서 이 식은 주어진 형태의 항등식이 성립하지 않으며, 학생이 계산 중 오류를 찾아야 한다. 정확한 오류는 r-2q=-8에서 p=1, q=1을 넣고 r=-4를 사용하면 -6이 된다는 줄이다. 이처럼 조건을 먼저 연결하고, 식의 위치를 바꾸어도 각 항의 대응을 확인하는 방식은 회전한 도형을 검증할 때 요소와 조건의 관계를 먼저 보는 절차와 같다.
새 문제에서 공식부터 쓰지 않고 주어진 식의 계수와 항을 연결한 뒤, 맞지 않는 정확한 줄을 스스로 지목한다면 x=0, 1, -1의 선택 이유와 계수 비교 절차를 실제로 적용한 것으로 볼 수 있다.