부분합과 수렴조건을 함께 확인하는 급수 풀이
강서구의 대일고등학교, 명덕여자고등학교, 공항고등학교 등에서 내신 수학을 준비하는 고3 학생들은 주간 일정과 학교별 학습 진도에 따라 급수 문제를 접하는 시점이 다를 수 있다. 이 사례의 학생은 무한등비급수의 합을 이용해 미지수 \(k\)를 구하면서도, 계산 중간의 조건을 지우는 습관 때문에 잘못된 값을 답으로 남겼다.
합 공식보다 먼저 확인해야 할 공비
학생이 푼 문제는 다음과 같다.
무한급수 \(k^2+k^3+k^4+\cdots\)의 합이 \(4\)일 때, 실수 \(k\)의 값을 구하여라.
첫째항은 \(k^2\), 공비는 \(k\)이므로 수렴하려면 반드시
\(|k|<1\)
이어야 한다. 이 조건에서 급수의 합은
\[ \frac{k^2}{1-k}=4 \]
가 된다. 양변에 \(1-k\)를 곱하면
\[ k^2=4-4k \]
\[ k^2+4k-4=0 \]
따라서
\[ k=-2\pm2\sqrt2 \]
이다.
학생의 오답과 틀린 단계
학생은 다음과 같이 풀이했다.
\[ \frac{k^2}{1-k}=4 \]
\[ k^2+4k-4=0 \]
\[ k=-2\pm2\sqrt2 \]
따라서 \(k=-2+2\sqrt2,\ -2-2\sqrt2\)
이 답은 수렴조건을 빠뜨린 오답이다. \(k=-2-2\sqrt2\)는 약 \(-4.828\)이므로 \(|k|>1\)이다. 이 값을 공비로 사용하면 항의 절댓값이 작아지지 않고 커지므로 무한급수 자체가 수렴하지 않는다. 따라서 식의 근이라고 해서 모두 급수의 합 조건을 만족하는 것은 아니다.
지운 중간식을 복원하며 검산하기
교사는 학생에게 풀이 전체를 다시 지우지 말고, 틀린 줄에 별표를 남기도록 했다.
- 별표 1: 공비가 \(k\)이므로 \(|k|<1\)을 먼저 기록한다.
- 별표 2: \(\frac{k^2}{1-k}=4\)에서 분모 \(1-k\)의 부호를 확인한다.
- 별표 3: 이차방정식의 두 근을 구한 뒤 각각 수렴조건에 대입한다.
두 근을 조건으로 판별하면
\[ -2+2\sqrt2\approx0.828,\qquad -2-2\sqrt2\approx-4.828 \]
이므로 첫 번째 근만 \(|k|<1\)을 만족한다. 실제 대입도 확인할 수 있다.
\[ \frac{(-2+2\sqrt2)^2}{1-(-2+2\sqrt2)} =4 \]
반면 두 번째 근은 공비의 절댓값이 1보다 커서 항이 0으로 수렴하지 않는다. 따라서 정답은
\(k=-2+2\sqrt2\)
이다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 급수를 반복하지 않고, 첫째항과 합을 바꾼 문제로 확인했다.
무한급수 \(3k+3k^2+3k^3+\cdots\)의 합이 \(6\)일 때 \(k\)를 구하여라.
첫째항은 \(3k\), 공비는 \(k\)이므로 \(|k|<1\)이다. 합 조건은
\[ \frac{3k}{1-k}=6 \]
이므로
\[ 3k=6-6k,\qquad 9k=6,\qquad k=\frac23 \]
이다. \(\left|\frac23\right|<1\)이고
\[ \frac{3\cdot\frac23}{1-\frac23}=6 \]
이므로 계산과 수렴조건을 모두 만족한다. 이처럼 급수 문제에서는 방정식의 근을 구하는 것에서 끝내지 않고, 공비와 수렴범위를 확인한 뒤 합에 다시 대입해야 한다.