마곡동고2수학과외, 지수함수의 정의역과 치역을 변형식에 연결하기
공항고등학교의 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 마곡지구도시개발지구와 마곡13단지 일대의 평일 귀가 시간을 함께 고려하면 짧은 풀이에서도 식의 형태가 바뀌었을 때 정의역·치역을 다시 판단하는 연습이 필요하다. 같은 강서구의 대일고등학교, 명덕여자고등학교, 한서고등학교, 동양고등학교는 참고 학교일 뿐 마곡동 소재 학교와는 구분해야 한다.
0이 치역에 들어간다고 적은 순간
기본식 y=2x에서 학생은 다음과 같이 기록했다.
잘못된 줄: 정의역은 모든 실수, 치역은 y≥0
수정한 줄: 정의역은 모든 실수, 치역은 y>0
두 줄에서 달라진 기호는 ≥에서 >로 바뀐 것이다. 지수함수의 값 2x는 어떤 실수 x에서도 양수이며 0이 되지 않는다. 따라서 x축이 수평점근선이고, 그래프는 x축에 가까워질 뿐 닿지 않는다.
계수와 부호가 바뀌면 치역의 방향도 바뀐다
다음 함수의 정의역과 치역을 구해 보자.
f(x)=-3·2x-1+4
2x-1>0이므로 -3·2x-1<0이다. 여기에 4를 더하면 항상 f(x)<4이다. x의 제한은 없으므로 정의역은 모든 실수이고, 수평점근선은 y=4, 치역은 y<4이다.
학생이 -3·2x-1+4>4라고 적었다면 음수 계수와 양수인 지수식의 곱을 양수로 판단한 오류다. 부호를 먼저 표시하면 2x-1>0 → -3·2x-1<0 → f(x)<4로 연결된다.
잘못된 줄과 수정한 줄을 나란히 확인하기
| 풀이 | 정의역 | 치역 | 점근선 |
|---|---|---|---|
y=2x |
모든 실수 | y>0 |
y=0 |
y=2x-5 |
모든 실수 | y>-5 |
y=-5 |
y=-2x-5 |
모든 실수 | y<-5 |
y=-5 |
훈련할 때는 답만 고치지 않고, 각 식 옆에 2x>0을 먼저 적는다. 그다음 계수의 부호를 반영하고, 마지막 상수항이 점근선과 치역의 경계를 결정하는지 확인한다.
범위가 넓어진 식에서 다시 검증하기
이제 다음 함수를 같은 방식으로 판단한다.
g(x)=4·(1/2)x+2-1
모든 실수 x에서 (1/2)x+2>0이므로 4·(1/2)x+2>0이다. 따라서
g(x)>-1
이고 정의역은 모든 실수, 치역은 y>-1, 수평점근선은 y=-1이다. 밑이 1/2라서 감소함수이지만, 정의역과 치역을 정할 때는 먼저 지수식의 양수 조건과 앞의 계수, 평행이동을 확인해야 한다. 이 문제에서 y≤-1 또는 y≥-1이라고 쓰지 않았는지, 경계값 -1을 치역에 포함하지 않았는지를 마지막에 점검한다.