마곡동고1수학과외

마곡동고1수학과외: 미지계수 다항식의 대입 순서 잡기

공항고등학교 학교 프린트에서 미지계수가 들어간 다항식 문제가 나오면, 학생은 문제의 표현이 조금만 달라져도 새로운 공식을 찾으려 하기 쉽다. 마곡동의 평일 귀가 시간과 학교별 시험 범위를 함께 조정할 때도 이 유형은 긴 풀이보다 어떤 값을 먼저 대입해 미지수를 줄일지 판단하는 연습이 우선이다.

값을 아무 순서로나 넣으면 식이 복잡해진다

다항식

P(x)=x³+ax²+bx+c

에 대하여 다음 조건이 주어졌다고 하자.

• P(1)=2
• P(-1)=-2
• P(0)=1

학생은 답안에 먼저 P(1)=2를 대입하여 1+a+b+c=2를 적은 뒤, 바로 P(-1)을 계산했다. 그러나 어떤 값을 먼저 넣을지 표시하지 않았고, 세 번째 조건인 P(0)=1은 마지막에 덧붙였다. 이 과정에서는 미지수 세 개가 모두 섞인 식부터 다루게 된다.

상수항을 바로 결정하는 대입부터 표시한다

x=0을 대입하면 거듭제곱 항이 사라져

P(0)=c=1

을 즉시 얻는다. 따라서 먼저 c=1을 확정한 뒤 나머지 조건에 넣는다.

P(1)=2이므로

1+a+b+1=2, 따라서 a+b=0이다.

P(-1)=-2이므로

-1+a-b+1=-2, 따라서 a-b=-2이다.

두 식을 더하면 2a=-2이므로 a=-1이고, a+b=0에서 b=1을 얻는다. 그러므로

P(x)=x³-x²+x+1

이다. 여기서 대입 순서는 단순한 풀이 습관이 아니라, 미지수의 개수를 가장 빨리 줄이는 기준으로 정해진다.

학생의 오답표에는 빠진 줄을 그대로 남긴다

이 학생의 풀이에서 틀린 계산만 찾으면 안 된다. 계산식 자체는 일부 맞았지만, 조건을 보고 대입 우선순위를 정한 흔적이 없는 것이 문제였다. 오답 수정 때는 P(0)=1 옆에 ‘상수항 c를 먼저 결정’이라고 적고, 그 줄부터 다시 작성한다.

이후 서술형 답안을 식·근거·결론으로 나눈다. 식에는 c=1, a+b=0, a-b=-2가 있어야 하고, 근거에는 각각 어떤 조건을 대입했는지가 나타나야 한다. 마지막 결론에는 a=-1, b=1과 완성된 P(x)를 함께 적는다.

표현이 달라도 같은 판단인지 확인하기

‘P(0)의 값이 주어졌다’, ‘상수항은 1이다’, ‘그래프에서 y절편이 1이다’라는 표현은 이 문제에서는 모두 c=1을 먼저 확인하게 하는 정보다. 반대로 x=1이나 x=-1을 먼저 대입하면 a와 b가 함께 나타나므로, 계산 자체가 불가능한 것은 아니지만 우선순위가 낮다.

마곡13단지나 마곡엠밸리5단지에서 귀가한 뒤 짧은 시간에 학교 프린트를 복습할 때는 문제마다 공식을 새로 찾기보다, 먼저 ‘어떤 대입이 항을 없애는가’를 한 줄로 표시하게 한다. 이는 공항고등학교와 강서구 내 참고 학교인 대일고등학교·명덕여자고등학교·한서고등학교·동양고등학교의 자료를 구분하지 않고 동일한 학교 출제 경향을 단정하는 방식이 아니라, 현재 받은 문제의 조건을 읽는 훈련이다.

조건을 하나 늘린 서술형 검증

다음 문제로 확인한다.

Q(x)=x³+px²+qx+r이고 Q(0)=3, Q(1)=5, Q(-1)=-3일 때 p, q, r를 구하여라. 또한 Q(2)의 값을 구하여라.

이번에는 학생이 먼저 Q(0)=3에서 r=3을 표시해야 한다. 이어서

• Q(1)=1+p+q+3=5이므로 p+q=1
• Q(-1)=-1+p-q+3=-3이므로 p-q=-5

두 식을 풀면 2p=-4이므로 p=-2, q=3이다. 따라서 Q(2)=8-8+6+3=9이다.

답만 맞히는지 보지 않고, 값을 없애는 대입을 먼저 표시했는지, 각 식의 근거를 적었는지, 마지막 결론과 Q(2)를 구분했는지 확인한다. 문자식이나 방정식 계산에서 잠시 막히더라도 전 범위를 복습하게 하지 않고, 음수 대입과 항 정리만 짧게 보완한 뒤 현재 다항식 문제로 돌아온다.