마곡동 고3수학과외에서 급수의 시작점과 계수부터 다시 확인한 풀이
마곡동의 공항고등학교를 중심으로 공부하는 학생은 평일 귀가 시간과 학교별 시험 범위를 함께 고려해 급수 단원을 복습하고 있었다. 같은 강서구의 대일고등학교, 명덕여자고등학교, 한서고등학교, 동양고등학교는 참고 학교로만 구분하고, 학생의 실제 풀이에서는 문제에 주어진 초항과 공비를 우선 확인했다.
합과 차를 바로 계산해 생긴 오류
학생은 다음 두 급수를 계산했다.
S=2\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac13\right)^n,\qquad T=3\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac13\right)^n
공비의 절댓값이 모두 \(1/3\)이므로 두 급수는 수렴한다. 그러나 학생은 시작 인덱스를 확인하지 않고 다음과 같이 적었다.
S-T=(2-3)\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac13\right)^n=-\frac32
이 식은 오답이다. \(S\)는 \(n=0\)부터 시작하지만 \(T\)는 \(n=1\)부터 시작하므로 같은 급수의 계수끼리 바로 뺄 수 없다. \(T\)의 첫 항을 분리하면
T=3\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac13\right)^n =3\cdot\frac13\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac13\right)^n =\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac13\right)^n
이다. 따라서
S-T=(2-1)\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac13\right)^n =\frac{1}{1-\frac13}=\frac32
가 된다. 합은 \(S=3\), 차는 \(S-T=\frac32\)로 일치한다.
오류 지점을 문자로 남기고 식을 교체하기
- 오류 지점: \(T\)의 시작 인덱스 \(n=1\)을 \(n=0\)으로 바꾸어 계수만 계산함
- 조건 확인: 두 급수의 공비뿐 아니라 첫 항과 합산 범위가 같은지 확인함
- 식 수정: \(3\sum_{n=1}^{\infty}(1/3)^n=\sum_{n=0}^{\infty}(1/3)^n\)으로 변환함
- 검산: 부분합과 무한등비급수 공식을 각각 적용함
학생은 특히 계수가 붙은 급수의 선형성을 적용할 때도 먼저 수렴 여부를 확인했다. \(|r|<1\)인 경우에 한해 급수의 상수배와 합·차를 안전하게 계산할 수 있으며, \(|r|\ge 1\)이면 후보에서 제거해야 한다.
조건을 바꾼 새 급수로 독립 검증
다음 문제로 절차를 다시 확인했다.
U=\sum_{n=0}^{\infty}5\left(-\frac12\right)^n,\qquad V=\sum_{n=1}^{\infty}4\left(-\frac12\right)^n
두 급수의 공비는 \(-1/2\)이므로 수렴한다. \(V\)의 시작점을 바꾸면
V=4\left(-\frac12\right)\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac12\right)^n =-2\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac12\right)^n
이다. 따라서
U+V=3\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac12\right)^n =\frac{3}{1+\frac12}=2
가 된다. \(U=5/(1+1/2)=10/3\), \(V=-2/(1+1/2)=-4/3\)이므로 \(U+V=2\)로 역산 검산도 완료된다.
마지막으로 첫째항이 \(6\), 합이 \(12\)라는 조건에서 공비 후보를 \(r=1/2\)와 \(r=3/2\)로 나누어 확인했다. \(r=3/2\)는 \(|r|<1\)을 만족하지 않아 무한등비급수의 합 조건에서 제외되고, \(r=1/2\)만 가능하다. 학생은 이제 숫자 계산보다 시작 인덱스, 계수, 공비의 절댓값을 첫 줄에 표시한 뒤 합과 차를 계산하는 방식으로 풀이를 유지하고 있다.