등촌동고2수학과외

등촌동고2수학과외: 치역에 0을 넣은 한 줄에서 시작된 오류

등촌고등학교와 대일고등학교 등 등촌동의 고등학교 내신에서는 지수함수의 식을 계산하는 것보다 정의역과 치역을 그래프와 연결해 설명하는 과정이 중요하다. 학교 프린트와 수행평가 준비가 겹쳐 풀이 시간이 짧을수록, 여백에 적은 범위가 실제 그래프와 맞는지 확인해야 한다.

y=2^x에서 0은 왜 치역에 들어갈 수 없는가

문제의 함수가

f(x)=2^x

일 때, 지수의 밑 2는 양수이고 1보다 크다. 실수 전체에서 x의 제한은 없으므로 정의역은

정의역: ℝ

이다. 치역을 구할 때 학생은 여백에 y≥0이라고 적었다. 그러나 이는 그래프가 x축에 닿는다고 해석한 결과다.

실제로 모든 실수 x에 대해 2^x>0이다. x가 매우 작은 음수가 되면 함수값은 0에 가까워질 뿐 0이 되지는 않는다. 또한 방정식 2^x=0은 실수해를 갖지 않는다. 따라서 정확한 치역은

(0, ∞)

이며, 그래프는 y=0을 수평점근선으로 갖지만 x축 위의 점을 포함하지 않는다.

잘못된 줄을 찾은 뒤 그 지점부터 이어서 고치기

이 오류가 발견되었을 때 풀이 전체를 처음부터 다시 베끼게 하지 않는다. 치역을 적은 줄에 표시를 남기고 다음처럼 이어서 수정한다.

잘못된 줄: y≥0
수정: 2^x>0이므로 y∈(0,∞)

그다음 그래프의 점을 직접 대조한다. x=0이면 y=1, x=1이면 y=2, x=-1이면 y=1/2이다. 세 점 모두 x축 위에 있고, x가 감소할수록 y값이 0에 가까워진다. 이 관찰은 치역의 시작점이 0이 아니라 열린 경계라는 사실을 뒷받침한다.

변형된 함수에서도 그래프의 이동을 먼저 확인하기

다음 함수의 정의역과 치역을 구해 보자.

g(x)=2^x-3

지수식 2^x의 값은 항상 양수이므로

2^x>0

이다. 양변에서 3을 빼면

g(x)>-3

가 된다. 따라서 정의역은 ℝ, 치역은

(-3, ∞)

이다. 그래프는 y=2^x를 아래로 3만큼 이동한 것이므로 수평점근선은 y=-3이다. -3을 치역에 포함해 y≥-3이라고 쓰면, 원래 함수에서 0을 포함했던 것과 같은 오류가 다시 발생한다.

부분 풀이에서 처음 틀린 줄을 찾아내는 검산

새 문제로

h(x)=3^x+2

의 정의역과 치역을 확인한다. 제시된 풀이가 다음과 같다고 하자.

① x∈ℝ
② 3^x>0
③ h(x)=3^x+2이므로 y≥2
④ 치역은 [2,∞)

여기서 처음 잘못된 줄은 ③이다. 3^x는 0보다 크므로 h(x)는 2보다 크지만 2와 같을 수는 없다. 따라서 ③을

h(x)>2

로 고치고, 최종 치역은

(2,∞)

로 정리해야 한다. 이때 단순히 답만 고르는 것이 아니라, 밑의 값이 양수라는 조건과 그래프의 수평점근선 y=2를 함께 말할 수 있어야 정의역·치역 판단이 새로운 식에서도 유지된 것으로 볼 수 있다.