등촌동고1수학과외: 나머지정리 값을 나눗셈으로 검산하는 습관
등촌동의 등촌고등학교, 대일고등학교, 마포고등학교 등에서 학교 프린트와 교과서의 다항식 단원을 함께 정리할 때는 나머지정리로 얻은 값을 답으로 끝내지 않는 과정이 필요하다. 등촌5단지나 등촌6단지에서 귀가한 뒤 짧은 시간에 문제를 풀더라도, 계산 근거를 한 줄 남기면 틀린 위치를 다시 찾기 쉽다.
답을 구한 뒤 바로 다음 줄로 넘어간 풀이
다음 다항식을 x-2로 나눌 때 나머지를 구해 보자.
f(x)=2x3-3x2+4x-7
나머지정리에 따르면 나머지는 f(2)이다.
f(2)=2·23-3·22+4·2-7
=16-12+8-7=5
그런데 관찰된 답안에는 이 계산 뒤에 확인 표시가 없었다. 학생은 막힌 줄을 표시하지 않고 식 전체를 지운 다음 처음부터 다시 썼으며, 나머지 5를 적은 뒤 곧바로 다음 문제로 넘어갔다. 틀린 계산이 없더라도 나머지가 실제 나눗셈의 결과와 같은지 확인한 흔적은 남아 있지 않았다.
나머지는 몫과 함께 식을 복원해야 확인된다
실제로 나눗셈을 하면
2x3-3x2+4x-7=(x-2)(2x2+x+6)+5
이다. 전개하면
(x-2)(2x2+x+6)+5
=2x3-3x2+4x-7
이므로 나머지정리에서 얻은 5가 실제 나눗셈의 나머지와 일치한다. 여기서 확인해야 할 관계는 다항식=나누는 식×몫+나머지이다. 나머지만 다시 계산하는 것이 아니라, 몫과 나머지를 사용해 원래 다항식이 복원되는지 살펴야 한다.
풀이 전후에 남기는 두 번의 확인 표시
- 풀이를 시작하기 전: “나머지정리 값 → 실제 다항식 나눗셈으로 확인”이라고 적는다.
- 나눗셈을 마친 뒤: 몫과 나머지를 곱셈식에 넣어 원래 식이 복원되는지 확인한다.
예를 들어 학생이 몫을 2x2-x+6으로 잘못 적었다면, 나머지정리로 계산한 5와 별개로 복원식을 점검할 수 있다.
(x-2)(2x2-x+6)+5=2x3-5x2+8x-7
원래의 -3x2+4x와 달라지므로 몫의 가운데항 부호가 잘못되었음을 즉시 알 수 있다. 식 전체를 지우지 않고 이 줄에 표시하면 수정할 위치가 분명해진다.
조건이 바뀐 식에서도 근거를 먼저 말하는가
훈련 뒤에는 나누는 식과 계수를 바꾼 문제를 제시한다.
g(x)=x3+2x2-5x+1을 x+3으로 나눌 때 나머지를 구하고 실제 나눗셈으로 확인한다.
x+3=x-(-3)이므로
g(-3)=-27+18+15+1=7
실제 나눗셈에서는
g(x)=(x+3)(x2-x-2)+7
이고, 전개 결과는 x3+2x2-5x+1이다. 학생이 “나머지는 7이고, 몫과 나누는 식을 곱한 뒤 7을 더해 원래 식이 복원된다”고 먼저 설명한다면 계산 근거를 사용하는 상태로 판단한다.
반대로 답 7만 말하고 몫이나 복원식을 제시하지 못한다면, 계수가 달라진 문제에서 확인 행동이 아직 이어지지 않은 것이다. 학교별 시험 범위와 수행평가가 겹치는 주간에는 문제 수를 늘리기보다, 등촌주공8단지 귀가 후 한 문제의 나머지를 구하고 나눗셈으로 되돌리는 과정을 정확히 남기는 편이 학습 상태를 확인하기 좋다.