등촌동 고3 수학과외: 급수의 합보다 먼저 확인할 조건
등촌고등학교, 대일고등학교, 마포고등학교, 영일고등학교, 경복여자고등학교, 경복비즈니스고등학교가 있는 등촌동 생활권에서 학생은 학교별 시험 범위와 수행평가 일정을 함께 관리하고 있었다. 등촌5단지와 등촌6단지 등에서 귀가한 뒤 제한된 시간에 급수 문제를 풀다 보니, 정답을 확인하고도 틀린 계산을 그대로 반복하는 습관이 나타났다.
부분합을 구하기 전에 수렴 여부를 확인한 풀이
학생이 다음 두 급수를 보고 항별 차의 합을 계산했다.
\[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac12\right)^n,\qquad \sum_{n=1}^{\infty}b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac32\right)^n \]
답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
\(\sum a_n=\dfrac{\frac12}{1-\frac12}=1\), \(\sum b_n=\dfrac{\frac32}{1-\frac32}=-3\)이므로
\(\sum(a_n-b_n)=1-(-3)=4\)
이 식은 오답이다. 첫 번째 급수는 공비 \(r=\frac12\)이므로 수렴하고 합은 \(1\)이다. 그러나 두 번째 급수는 공비 \(r=\frac32\)로 \(|r|>1\)이므로 발산한다. 등비급수의 합 공식 \(\frac{a}{1-r}\)는 \(|r|<1\)일 때만 사용할 수 있다. 따라서 \(\sum b_n=-3\)이라고 둔 순간 조건을 위반했다.
더 근본적으로 \(a_n-b_n=\left(\frac12\right)^n-\left(\frac32\right)^n\)의 일반항은 \(0\)으로 가지 않는다. 실제로 \(n\)이 커질수록 \(\left(\frac32\right)^n\)의 영향이 커지므로 일반항 자체가 발산한다. 따라서 \(\sum(a_n-b_n)\)도 수렴할 수 없다.
틀린 줄을 찾아 부분합으로 역검산하기
학생은 풀이 왼쪽 여백에 먼저 “수렴조건 누락”이라고 표시했다. 이후 각 급수의 공비와 부분합을 따로 적었다.
- \(S_N^{(a)}=\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\left(\frac12\right)^n=1-\left(\frac12\right)^N\), 따라서 \(S_N^{(a)}\to1\)
- \(S_N^{(b)}=\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\left(\frac32\right)^n=3\left[\left(\frac32\right)^N-1\right]\), 따라서 \(S_N^{(b)}\to\infty\)
그러므로 두 부분합의 차는
\[ S_N^{(a-b)} =1-\left(\frac12\right)^N-3\left[\left(\frac32\right)^N-1\right] =4-\left(\frac12\right)^N-3\left(\frac32\right)^N \]
이고 \(N\)이 증가하면 음의 무한대로 간다. \(N=2\)일 때는 실제 항의 합이
\[ \left(\frac12-\frac32\right)+\left(\frac14-\frac94\right)=-3 \]
이며, \(N=3\)까지 계산하면 \(-6.375\)가 되어 \(4\)라는 결과와 맞지 않는다. 이처럼 대표적인 두 부분합을 대입해 계산하면 잘못된 합 공식 적용을 즉시 확인할 수 있다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않기 위해 다음 급수로 바꾸어 확인했다.
\[ \sum_{n=0}^{\infty}c_n=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac23\right)^n,\qquad \sum_{n=0}^{\infty}d_n=\sum_{n=0}^{\infty}3\left(\frac14\right)^n \]
두 공비 모두 절댓값이 \(1\)보다 작으므로 이번에는 항별 합과 차를 사용할 수 있다.
\[ \sum c_n=\frac1{1+\frac23}=\frac35,\qquad \sum d_n=\frac3{1-\frac14}=4 \]
따라서
\[ \sum_{n=0}^{\infty}(c_n+d_n)=\frac35+4=\frac{23}{5} \]
학생은 먼저 수렴조건을 적고, 각 부분합의 극한을 확인한 뒤 더하기를 수행했다. 조건이 충족될 때만 합과 차의 법칙을 적용하는 순서가 이전 풀이와 달라졌는지까지 점검했다.