지수함수의 정의역과 치역은 밑의 조건부터 확인한다
내발산동동고2수학과외 학습에서 지수함수 단원을 점검할 때, 답의 범위만 적는지 아니면 그 범위가 성립하는 이유까지 남기는지를 함께 살핀다. 내발산동의 고등학교 과제와 지필평가를 준비할 때도 귀가 후 풀이량을 늘리기보다, 한 문제에서 정의역·치역·밑의 조건을 정확히 연결하는 과정이 중요하다.
y=2x의 치역에 0을 넣은 이유
풀이 기록에는 다음과 같이 적혀 있었다.
y=2x이므로 정의역은 모든 실수, 치역은 y≥0
정의역은 맞지만 치역은 틀렸다. 실수 x에 대하여 2x는 항상 양수이므로
2x > 0
이다. x가 매우 작은 음수가 되면 함수값이 0에 가까워질 수는 있지만, 어떤 실수 x에서도 2x=0이 되지는 않는다. 따라서 정확한 답은
정의역: 모든 실수, 치역: y>0
이다. 여기서 y=0은 그래프가 가까워지는 값일 뿐, 함수가 실제로 취하는 값은 아니다.
밑의 조건을 답안에 남겨야 하는 까닭
일반적인 지수함수 y=ax를 다룰 때는 먼저
a>0, a≠1
을 확인한다. 이 조건에서만 모든 실수 x에 대한 실수 지수함수가 정의되며, 밑이 1이면 y=1이라는 상수함수가 되어 지수함수의 증가·감소 성질도 달라진다.
밑의 조건을 표시한 뒤에는 정의역과 치역을 구분한다.
- 정의역: x에 넣을 수 있는 값의 범위이므로 모든 실수
- 치역: ax의 값은 항상 양수이므로 y>0
따라서 답안에는 a>0, a≠1을 네모로 표시하고, 그 아래에 x∈R, y>0을 각각 적는 방식이 적절하다.
식이 바뀌면 치역의 시작점도 다시 읽기
다음 함수의 정의역과 치역을 구해 보자.
y=3t-4
계산 전에 확인할 조건은 다음과 같다.
□ 밑 3>0, 3≠1
□ t는 모든 실수 가능
□ 3t>0
밑의 조건은 통과한다. 또한 3t>0이므로 양변에서 4를 빼면
y=3t-4>-4
가 된다. 따라서 정의역은 모든 실수, 치역은 y>-4이다. y≥-4라고 쓰면 y=-4를 함수값으로 포함하게 되므로 틀린다.
문자만 바꾼 문제에서 풀이 순서 확인하기
독립 확인에서는 x 대신 u를 사용한 다음 함수를 제시한다.
z=(1/2)u+5
풀이를 시작할 때 학생이 먼저
□ 1/2>0, 1/2≠1
□ u∈R
□ (1/2)u>0
를 적는지 확인한다. 밑이 0과 1 사이인 것은 정의역과 치역의 범위를 바꾸지 않는다. 모든 실수 u에서 (1/2)u>0이고, 여기에 5를 더하므로
z>5
이다. 정답은 정의역 u∈R, 치역 z>5이다. 밑의 범위, 입력 문자의 범위, 양수 조건을 네모로 표시한 뒤 각각 통과 여부를 체크했다면 새로운 문자와 밑에서도 같은 판단을 적용한 것으로 볼 수 있다.