내발산동고3수학과외

내발산동 고3수학과외에서 확인한 급수의 합과 차

내발산동에는 명덕여자고등학교, 덕원여자고등학교, 명덕고등학교, 화곡고등학교, 수명고등학교 등이 있고, 명덕외국어고등학교와 덕원예술고등학교도 함께 자리한다. 같은 강서구의 대일고등학교는 참고 학교이므로 내발산동 소재 학교와 구분해 살펴볼 필요가 있다. 학교 선택보다 중요한 것은 귀가 뒤 과제와 시험 준비 순서 속에서 급수의 조건을 실제로 점검하는 습관이다.

항을 합치는 순간 생긴 오류

학생은 다음 급수의 차를 계산하면서 각 급수가 수렴하는지 확인하지 않고 곧바로 항을 묶었다.

S-T=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac23\right)^n-\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac12\right)^n

오답: S-T=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac23-\left(-\frac12\right)\right)^n=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac76\right)^n

이 식은 틀렸다. aⁿ-bⁿ은 (a-b)ⁿ이 아니므로 두 급수의 항을 뺀 뒤 공비의 거듭제곱으로 바꿀 수 없다. 예를 들어 n=2일 때 실제 항은 4/9-1/4=7/36이지만, 오답식의 항은 (7/6)²=49/36으로 서로 다르다.

부분합의 극한으로 다시 확인하기

먼저 각 급수의 일반항이 0으로 가는지 확인한다. 두 공비의 절댓값이 각각 2/3, 1/2로 1보다 작으므로 두 급수는 수렴한다.

부분합을 각각 계산하면

S_N=\frac{1-(2/3)^{N+1}}{1-2/3}, T_N=\frac{1-(-1/2)^{N+1}}{1+1/2}

이고 N이 무한히 커질 때

S=\frac{1}{1-2/3}=3,\qquad T=\frac{1}{1+1/2}=\frac23

이다. 따라서 수렴하는 두 급수의 차는 항별 차의 급수로 다룰 수 있지만, 그 항은 원래 항을 그대로 뺀

S-T=\sum_{n=0}^{\infty}\left\{\left(\frac23\right)^n-\left(-\frac12\right)^n\right\}=3-\frac23=\frac73

이다. 학생은 답안에서 처음 잘못된 줄에 표시한 뒤, 각 공비의 절댓값과 일반항의 관계를 확인하고, 거듭제곱의 차를 공비 차의 거듭제곱으로 바꾼 부분을 삭제했다. 마지막에는 부분합의 극한과 3-2/3 계산을 대입해 결과를 검산했다.

조건을 바꾼 독립 검증

초항과 공비를 바꾸어 다음 문제를 새로 풀었다.

U=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac35\right)^n,\qquad V=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac13\right)^n

두 공비의 절댓값이 모두 1보다 작으므로 각각 수렴한다. 따라서

U-V=\frac{1}{1-3/5}-\frac{1}{1+1/3}=\frac52-\frac34=\frac74

이다. 표현이 바뀌어도 먼저 수렴조건을 확인하고, 거듭제곱의 항을 그대로 더하거나 빼야 한다는 기준을 독립적으로 적용했다.