내발산동고1수학과외: 나머지의 차수가 낮아야 하는 이유
내발산동의 고등학교 과제와 시험 준비에서는 다항식의 나눗셈을 계산하는 것보다 먼저 나머지의 차수 조건을 확인하는 습관이 필요하다. 명덕여자고등학교, 덕원여자고등학교 등 학교별 일정에 따라 귀가 후 시간이 달라질 수 있지만, 짧은 풀이에서도 기준 문자를 표시하는 한 줄은 생략하지 않아야 한다.
가장 큰 지수만 보고 판단한 오답
다음 나눗셈을 보자.
2x4 - x3 + 3x - 5를 x2 - 2x + 1로 나눌 때 나머지를 구한다.
학생은 나눗셈을 진행한 뒤 나머지를 4x2 + x - 6이라고 적었다. 계산 과정에서 가장 큰 지수가 2라는 점만 보고 나머지로 남겼지만, 나누는 식의 차수도 2이므로 이 식은 나머지가 될 수 없다.
나머지는 반드시 나누는 식보다 차수가 낮아야 한다. 나누는 식이 2차식이면 나머지는 1차 이하이어야 하므로, 나머지에 x2항이 남아 있다면 나눗셈이 끝난 것이 아니다.
먼저 기준 문자를 표시하는 풀이
차수는 어떤 문자를 기준으로 읽는지에 따라 결정된다. 위 식에서는 x를 기준 문자로 표시하고, 나누는 식의 최고차항을 확인한다.
x2 - 2x + 1은 x에 대한 2차식이다. 따라서 나머지는
ax + b
와 같은 꼴이어야 한다. 실제로 나눗셈을 끝까지 진행하면
2x4 - x3 + 3x - 5
= (x2 - 2x + 1)(2x2 + 3x + 4) + (5x - 9)
이다. 전개하면 곱 부분은 2x4 - x3 + 3x2 + 4x가 되고, 여기에 5x - 9를 더하면 원래 식인 2x4 - x3 + 3x - 5가 된다. 나머지 5x - 9의 차수는 1이므로 나누는 식의 차수 2보다 낮다.
계수보다 먼저 확인할 관계
나누는 식이 3t3 - t + 2라면 최고차항의 계수가 3이라는 사실보다 먼저 t에 대한 3차식이라는 점을 읽어야 한다. 이때 나머지는 t2 이하이어야 한다.
반대로 나누는 식이 7y - 4라면 1차식이므로 나머지는 y가 들어갈 수 없는 상수여야 한다. 2y + 1을 나머지라고 적었다면 계수 계산이 맞더라도 차수 조건에서 탈락한다.
나머지의 차수는 나누는 식의 차수보다 낮아야 한다. 기준 문자를 먼저 정하고, 그 문자에 붙은 지수로 차수를 판단한다.
답보다 한 줄의 흔적을 남기는 연습
학생의 답안에는 나머지를 적은 뒤 곧바로 다음 계산으로 넘어간 흔적만 있고, 나누는 식과 나머지의 차수를 비교한 표시가 없었다. 수정할 때는 오답 전체를 길게 다시 쓰기보다 다음 한 줄을 먼저 적게 한다.
x에 대한 나누는 식의 차수는 2, 따라서 나머지는 x의 1차 이하.
그 뒤 나머지에 x2항이 남아 있는지 확인한다. 남아 있다면 그 항을 나누는 식으로 다시 처리하고, 상수항만 남거나 1차식이 되었을 때 계산을 마친다. 오답노트에는 정답보다 이처럼 바뀐 행동 한 가지를 남긴다.
항의 순서를 바꾼 문제에서 확인하기
훈련 문제는 다음과 같이 항의 순서를 섞어 제시한다.
6 - 4z2 + z5 - 3z3를 2z3 + z - 1로 나눌 때 나머지의 차수가 어느 범위인지 설명하게 한다.
학생은 먼저 기준 문자인 z를 표시하고, 나누는 식이 3차식이므로 나머지는 z2 이하라고 말해야 한다. 항을 내림차순으로 배열하는 것은 계산을 위한 절차일 뿐, 나머지 조건 자체를 바꾸지 않는다.
또한 나눗셈 결과를 P(z)=Q(z)D(z)+R(z)로 나타냈다면 양변에서 Q(z)D(z)를 똑같이 빼어 P(z)-Q(z)D(z)=R(z)가 된다는 관계까지 설명하게 한다. 답을 바로 알려주지 않고, 마지막에는 “어디서 막혔는지”를 한 문장으로 기록하게 한다. 예를 들어 “z를 기준 문자로 정하지 않아 나누는 식의 차수를 확인하지 않았다”와 같이 적으면 조건을 놓친 지점이 분명해진다.