수유동 고2수학과외: 지수함수 평행이동을 점근선과 방향으로 읽기
혜화여자고등학교를 비롯해 강북구의 고등학교 시험을 준비할 때 지수함수 그래프는 식의 모양만 외워서는 부족하다. 귀가 후 과제와 시험 준비 순서를 정할 때도 식에서 이동 방향, 점근선, 증가·감소를 차례로 확인하는 풀이가 필요하다.
y=2x-2에서 오른쪽 이동을 놓친 이유
기준 그래프를 y=2x라고 하자. 학생은
y=2x-2
를 보고 “그래프를 왼쪽으로 2만큼 옮긴다”고 적었다. 그러나 x 대신 x-2가 들어간 식은 같은 함수값을 얻기 위해 원래 그래프의 입력값보다 2 큰 x가 필요하므로 오른쪽으로 2만큼 이동한다.
실제로 기준 그래프의 점 (0,1)은 새 그래프에서
x-2=0이 되는 x=2로 옮겨져 (2,1)이 된다. 따라서 점근선은 여전히 y=0이고, 밑이 2>1이므로 오른쪽으로 갈수록 증가한다.
계수와 바깥 상수가 함께 바뀌면 먼저 기준선을 찾는다
다음 식을 살펴본다.
y=-3·2x+1+4
이 식은
x+1이므로 왼쪽으로 1만큼 이동- 계수
-3때문에y=2x+1를 세로로 3배 확대하고 x축 대칭 +4때문에 위로 4만큼 이동
로 해석한다. 수평 점근선은 y=4이다. 원래 밑이 2보다 크고 계수가 음수이므로 그래프는 전체적으로 감소한다. 학생이 계수의 부호만 보고 점근선을 y=-3 또는 y=0으로 정하면, 바깥의 +4를 이동값으로 읽지 못한 것이다.
특히 x=-1을 대입하면
y=-3·20+4=1
이므로 그래프의 한 점은 (-1,1)이다. 이 점과 점근선 y=4를 함께 표시하면 왼쪽 이동과 감소 방향을 식과 대조할 수 있다.
풀이 옆에 이동·점근선·방향을 따로 기록하기
새 식을 볼 때 계산부터 하지 않고 다음 세 줄을 식 옆에 적는다.
수평 이동: x+1 → 왼쪽 1
수평 점근선: y=4
방향: 계수 음수, 밑 2>1 → 감소
이렇게 한 항목씩 확인하면 계수의 크기와 부호, 바깥 상수, 지수 안의 부호를 한꺼번에 섞어 판단하는 오류를 줄일 수 있다. 그래프를 그린 뒤에는 표시한 점근선과 증가·감소 방향이 식의 조건과 맞는지도 확인한다.
부호와 밑이 달라진 식에서 다시 확인하기
다음 문제를 별도의 오답표 없이 풀이한다.
y=-1/2·3x-2-1의 수평 이동, 점근선, 증가·감소를 구하여라.
정답을 바로 쓰지 말고
x-2 → 오른쪽 2만큼 이동
바깥 상수 -1 → 점근선 y=-1
밑 3>1, 계수 음수 → 감소
라고 적어야 한다. 따라서 그래프는 오른쪽으로 2만큼 이동하고, 수평 점근선은 y=-1이며, 전체적으로 감소한다. 예를 들어 x=2일 때 y=-1/2-1=-3/2이므로 점근선 아래쪽에서 감소하는 모양과도 일치한다.
계수의 크기와 부호가 바뀌어도 지수 안의 부호로 수평 이동을, 바깥 상수로 점근선을, 계수와 밑의 관계로 방향을 확인하는 순서가 유지되는지가 이 문제의 판단 기준이다.