수유동고1수학과외

수유동고1수학과외, 항등식은 같은 차수의 계수로 판단하기

학교 프린트에서 x=1을 대입한 뒤 좌우가 같다는 이유로 풀이를 끝내는 경우가 있다. 그러나 항등식은 특정한 한 값이 아니라 허용되는 모든 x에서 성립해야 한다. 따라서 수유동의 고1 수학 학습에서는 식을 전개하고 같은 차수의 항을 나란히 놓는 과정이 핵심이 된다.

x=1에서 맞았지만 조건을 결정하지 못한 식

다음 항등식에서 상수 a, b를 구해 보자.

(a+1)x²+(b-2)x+3 = 4x²+5x+3

학생은 양변에 x=1을 넣어

a+1+b-2+3=4+5+3

즉 a+b=10이라고 적고, 두 문자에 대한 조건이 정해졌다고 판단했다. 하지만 (a,b)=(3,7)뿐 아니라 (4,6), (8,2)도 이 식을 만족한다. 한 점에서의 등식은 두 식이 그 점에서 만난다는 뜻일 뿐, 두 다항식이 모든 x에서 같은 항등식이라는 뜻은 아니다.

전개한 뒤 차수별로 줄을 맞추는 이유

이 문제는 이미 전개된 형태이므로 x²항, x항, 상수항을 각각 비교한다.

• x²의 계수: a+1=4
• x의 계수: b-2=5
• 상수항: 3=3

따라서 a=3, b=7이다. 특히 어떤 차수의 항이 한쪽에 없으면 그 계수를 0으로 기록해야 한다. 예를 들어

(r-2)x²+6x+s = 5x²+6x

에서는 오른쪽의 상수항 계수가 0이므로 s=0이고, r-2=5에서 r=7을 얻는다.

풀이 시작 전에 남겨야 할 판단

풀이 첫 줄에 “항등식의 양변을 전개해 같은 차수의 계수끼리 비교한다”라고 적게 한 뒤, 실제 식에서도 차수 순서를 맞추어 배열한다.

(u+3)x³+2x-1 = 6x³+vx²+2x+w

• x³의 계수: u+3=6
• x²의 계수: 0=v
• x의 계수: 2=2
• 상수항: -1=w

그러므로 u=3, v=0, w=-1이다. 정답을 맞혔더라도 빠진 항의 계수 0을 쓰지 않았다면 비교 기준을 다시 확인할 항목으로 남긴다.

귀가 후 짧은 시간에도 확인할 기록

혜화여자고등학교는 수유동 지역 내 확인 학교이고, 영훈고등학교·창문여자고등학교·솔샘고등학교·삼각산고등학교는 같은 강북구의 참고 학교다. 학교별 출제 경향을 단정하기보다, 귀가 시각과 과제량에 맞추어 항등식 문제를 풀 때마다 다음 네 줄을 직접 남기는 방식이 적절하다.

• 양변을 전개했는가
• 차수 순서를 맞추었는가
• 없는 항의 계수를 0으로 적었는가
• 계수 비교에서 나온 결론을 원래 식에 다시 대입했는가

좌표 조건이 바뀐 그래프 문제에서 확인하기

다음 문제로 판단을 바꿔 보자.

그래프의 식이

y=(m+2)x²+(n-1)x+5

이고, 이 그래프가 y=6x²+3x+5와 모든 x에서 일치한다고 하자. 문제지에 특정 점의 좌표와 관련 없는 추가 정보가 함께 제시되어 있어도, 필요한 조건은 두 식이 모든 x에서 같다는 것이다.

• m+2=6이므로 m=4
• n-1=3이므로 n=4
• 상수항은 5=5로 일치한다

서술형 답안에는 “두 식이 모든 x에서 일치하므로 같은 차수의 계수를 비교했다. 따라서 m=4, n=4이다”라고 조건과 결론을 함께 적는다. 좌표 하나를 대입해 확인하는 데 그치지 않고, 불필요한 정보는 제외한 뒤 계수 비교를 스스로 선택하는지가 최종 확인 기준이다.