수유동 고3수학과외: 기호가 바뀐 급수에서 부분합을 다시 세우는 연습
문자만 달라진 급수 문제에서 학생은 이전 문제의 계산 결과를 그대로 적용하려 했다. 수유동에서 학습 중인 이 학생은 귀가 후 과제에서 부분합의 기호와 일반항의 관계를 먼저 확인하는 습관이 부족했고, 시험 준비에서도 풀이 순서를 다시 점검할 필요가 있었다. 혜화여자고등학교를 비롯해 강북구 내 학교 문제를 공부할 때도 학교명을 기준으로 추측하기보다 주어진 조건을 식으로 분리하는 데 초점을 맞췄다.
부분합 기호와 항을 혼동한 오답
다음과 같은 등비수열을 살펴보자.
첫째항이 \(1\), 공비가 \(\frac12\)인 등비수열의 첫 \(n\)개 항의 합을 \(S_n\)이라 하면
\[ S_n=1+\frac12+\frac14+\cdots+\left(\frac12\right)^{n-1} \]
학생은 문자의 모양이 바뀐 문제에서 다음처럼 적었다.
오답: \(S_n=\frac{n+1}{n+2}\)로 바뀌어도 \(n\)을 대입한 값만 더한다.
이 식은 등비급수의 부분합 공식이 아니며, \(n\)을 대입한 값 하나를 더하는 방식도 첫 \(n\)개 항의 합을 구하는 과정이 아니다. 부분합은 각 항의 합이므로 일반항 \(a_k\)를 정한 뒤 \(k=1\)부터 \(n\)까지 더해야 한다.
이 문제에서는
\[ a_k=\left(\frac12\right)^{k-1},\qquad r=\frac12 \]
이므로 공비가 \(1\)이 아닌 등비수열의 부분합 공식
\[ S_n=a_1\frac{1-r^n}{1-r} \]
을 적용한다.
\[ S_n=1\cdot\frac{1-\left(\frac12\right)^n}{1-\frac12} =2\left(1-\left(\frac12\right)^n\right) =2-\frac1{2^{n-1}} \]
따라서 \(n=4\)일 때는
\[ S_4=1+\frac12+\frac14+\frac18=\frac{15}{8} \]
이고 공식에 대입해도
\[ 2-\frac1{2^3}=\frac{15}{8} \]
으로 일치한다. \(n\)이 커질수록 \(S_n\)은 \(2\)에 가까워지지만 \(2\)를 넘지 않는다는 경계도 함께 확인했다.
틀린 줄부터 조건을 다시 확인한 수정 과정
- 틀린 줄 표시: \(S_n=\frac{n+1}{n+2}\)라고 쓴 부분에 밑줄을 긋는다.
- 변수 관계 확인: \(S_n\)은 한 항이 아니라 \(a_1+a_2+\cdots+a_n\)이며, 공비는 연속한 항의 비 \(a_{k+1}/a_k\)임을 확인한다.
- 식 수정: \(a_1=1,\ r=\frac12\)를 부분합 공식에 넣어 \(S_n=2-\frac1{2^{n-1}}\)로 고친다.
- 대입 검산: \(n=4\)를 대입한 공식의 값과 실제 네 항의 합 \(\frac{15}{8}\)을 비교한다.
- 경계 검산: \(S_n<2\), \(\lim_{n\to\infty}S_n=2\)인지 확인해 수렴값과 부분합의 관계를 점검한다.
공비와 범위를 바꾼 독립 검증
같은 절차를 반복하지 않기 위해 다음 조건으로 바꾸어 확인했다.
첫째항이 \(6\), 공비가 \(-\frac13\)인 등비수열에서 첫 \(5\)개 항의 합을 구하면
\[ T_5=6\frac{1-\left(-\frac13\right)^5}{1+\frac13} =\frac92\left(1+\frac1{243}\right) =\frac{122}{27} \]
직접 계산해도
\[ 6-2+\frac23-\frac29+\frac{2}{27} =\frac{122}{27} \]
으로 같다. 공비가 음수이므로 부분합이 번갈아 증가·감소하고, 무한급수의 합은
\[ \frac{6}{1-(-1/3)}=\frac92 \]
이다. 따라서 새 문제에서는 공비의 부호와 항의 개수를 첫 줄에서 표시한 뒤 부분합 공식을 적용하는 방식으로 검증을 마쳤다.