미아동고2수학과외

y=2^x−2에서 이동 방향을 뒤집은 계산

미아동고2수학과외 학습 점검에서 귀가 후 학교 프린트의 지수함수 그래프를 정리하던 중, 학생의 답안에는 y=2^x−2의 그래프를 왼쪽으로 2만큼 평행이동한다고 적혀 있었다. 식의 모양만 보고 이동 방향을 표시하지 않아 생긴 오류였다.

지수함수 y=2^x에서 x 대신 x−2를 넣으면, 같은 함수값을 만드는 x가 2만큼 커진다. 실제로

2^x−2=2^t라고 두면 t=x−2이므로 x=t+2이다. 따라서 원래 그래프의 점 (t, 2^t)는 새로운 그래프에서 (t+2, 2^t)가 된다. 그러므로 그래프는 오른쪽으로 2만큼 이동한다.

(0, 1)을 어디로 옮겨야 하는가

기본 그래프 y=2^x는 (0, 1)을 지난다. 새 식에 x=2를 대입하면

y=2²⁻²=1

이 점은 (2, 1)이다. 반대로 왼쪽 이동이라고 판단하면 (−2, 1)을 표시하게 되는데, 새 식에 x=−2를 넣으면 y=2⁻⁴=1/16이므로 그래프 위의 점이 아니다. 한 점을 원래 식에 대입해 확인하는 절차가 빠졌던 셈이다.

풀이 줄에는 다음처럼 이동 근거를 남긴다.

y=2^x−2 : x좌표가 t에서 t+2로 변함 → y=2^x를 오른쪽 2만큼 이동

식의 이동과 점근선도 함께 확인하기

이 함수의 수평점근선은 여전히 y=0이다. 따라서 그래프를 왼쪽으로 옮겼다고 그려 놓고 점근선을 다른 위치에 표시하면 식과 그래프가 동시에 맞지 않는다. 학생은 계산 줄을 지우기보다 y=2^x−2를 남겨 둔 뒤, 옆에 “x=t+2”를 적고 기준점 (0, 1)을 (2, 1)로 다시 옮겼다. 이후 x=3일 때 y=2, x=4일 때 y=4를 표시해 오른쪽 이동 여부를 재확인했다.

해가 없는 변형에서 이동 판단과 후보 제거하기

새 조건으로 다음 식을 제시했다.

2^x−2=−1

밑 2는 양수이고, 어떤 실수 x에 대해서도 2^x−2>0이다. 따라서 오른쪽으로 2만큼 이동한 그래프가 x축 아래의 y=−1을 만날 수 없으므로 실수해는 없다.

학생이 양변에 로그를 취해 x−2=log₂(−1)이라고 쓰려 했다면, log₂(−1)은 실수 범위에서 정의되지 않는다는 점을 옆에 적어 후보를 제거해야 한다. 그래프의 위치와 지수값의 부호를 함께 확인했을 때만 “해 없음”이라는 결론이 완성된다.

미아동의 영훈고등학교, 창문여자고등학교, 솔샘고등학교, 삼각산고등학교, 신일고등학교, 성암국제무역고등학교 등 학교별 과제와 시험 준비 시간이 달라도, 귀가 후 지수함수 프린트를 풀 때 이동 방향을 점 하나로 검증하는 습관은 동일하게 적용된다.