미아동고3수학과외

미아동 고3수학과외, 부분합과 무한급수의 경계를 확인하는 복습

미아동에서 영훈고등학교, 창문여자고등학교, 솔샘고등학교, 삼각산고등학교, 신일고등학교, 성암국제무역고등학교에 다니는 고3 학생은 귀가 뒤 제한된 시간 안에 오답을 다시 확인해야 한다. 이 학생은 계산 결과만 맞추려다 부분합과 무한급수의 관계를 놓치는 경우가 있어, 풀이의 어느 줄에서 판단이 바뀌었는지 기록하는 연습이 필요했다.

처음 잘못된 줄을 표시하기

문제는 다음과 같았다.

첫째항이 3이고 공비가 1/2인 등비급수의 합을 구하여라.

학생은 부분합을 바르게 계산했다.

S_n=3+3·(1/2)+3·(1/2)²+⋯+3·(1/2)^n-1

S_n=3{1-(1/2)ⁿ}∕{1-1/2}=6{1-(1/2)ⁿ}

그러나 다음 줄에서 다음과 같이 적었다.

오답: ∑_k=1^∞3(1/2)^k-1=S_n=6{1-(1/2)ⁿ}

이 식은 틀렸다. S_n은 첫 n개 항의 합이므로 n에 따라 변하는 부분합이고, 무한급수의 합은 부분합의 극한이다. 공비의 절댓값이 1보다 작으므로 수렴하며,

∑_k=1^∞3(1/2)^k-1=lim_n→∞S_n=lim_n→∞6{1-(1/2)ⁿ}=6

이 정답이다. 학생은 이제 틀린 줄 앞에 표시를 하고, S_n → n개 항의 합, lim S_n → 무한급수의 합이라는 화살표를 적는다. 이어서 n=2를 대입하면 부분합은 4.5이지만 전체 합은 6이므로 두 값을 같게 둘 수 없다는 점도 확인한다.

조건과 식을 연결한 검산

• 공비 조건: |1/2|<1이므로 수렴
• 부분합: S_n=6{1-(1/2)ⁿ}
• 무한급수: lim_n→∞S_n=6
• 원식 대조: n=3이면 S₃=5.25이고, 3+1.5+0.75=5.25

이 과정을 통해 계산 중간식이 맞더라도 마지막에 극한을 취하지 않으면 급수의 합을 구한 것이 아니라는 사실을 확인한다. 오답노트에는 “공식 오류”라고만 쓰지 않고, 부분합을 급수의 합으로 바꿔 쓴 최초의 줄을 기록한다.

조건을 바꾼 독립 검증

다음 문제는 앞의 예제를 보지 않고 풀게 했다.

첫째항이 5이고 공비가 -1/3인 무한등비급수의 합을 구하여라.

공비의 절댓값이 1보다 작으므로 수렴한다.

S_n=5{1-(-1/3)ⁿ}∕{1-(-1/3)}=15/4{1-(-1/3)ⁿ}

따라서

∑_k=1^∞5(-1/3)^k-1=lim_n→∞S_n=15/4

학생은 이번에는 S_n을 정답으로 멈추지 않고 반드시 극한을 적었다. 또한 n=2에서 부분합이 5-5/3=10/3임을 원래 항에 대입해 확인한 뒤, 15/4는 부분합의 극한이라는 차이까지 구분했다.