미아동고1수학과외, 항등식과 방정식을 가르는 식의 의미
미아동에서 학교 과제와 귀가 후 복습을 함께 진행할 때는 정답을 얻었는지보다 그 식이 어떤 범위에서 성립하는지 확인하는 습관이 중요하다. 고1 수학에서는 모든 값의 x에 대해 참인 식과 특정한 x를 찾아야 하는 방정식을 같은 방식으로 처리하면 풀이의 목적이 달라진다.
3(x-2)=3x-6에서 구할 x가 없는 이유
예를 들어 다음 식을 보자.
3(x-2)=3x-6
왼쪽을 전개하면 3x-6이므로 양변은 항상 같다. 정리 과정도 다음과 같다.
3x-6=3x-6
0=0
이는 특정한 해를 하나 찾는 방정식이 아니라 모든 실수 x에서 성립하는 항등식이다. 반면 2x+5=17은 양변에서 5를 빼면 2x=12, 따라서 x=6일 때만 참이다. 이 식은 해를 구하는 방정식이다.
답을 적은 뒤 멈춘 학생의 풀이 흔적
학교 프린트에서 4(x+1)=2x+14를 만난 학생은 양변을 정리해 4x+4=2x+14, 2x=10, x=5라고 적었다. 이 계산은 정확하다. 그러나 답안에는 식이 특정 값에서만 성립하는지, 모든 x에서 성립하는지 확인한 흔적이 없었다.
반대로 5(x-3)=5x-15를 풀 때는 양변을 정리한 뒤 0=0이 되었는데도 답란에 x=0이라고 적었다. 0은 계산 중 만들어진 값이 아니며, 실제로 x=2를 대입해도 5(2-3)=-5, 5×2-15=-5로 식이 성립한다. 이 경우에는 해를 하나 고르는 것이 아니라 모든 실수 x가 식을 만족한다고 판단해야 한다.
정리 결과를 보고 식의 종류를 결정하기
풀이가 끝났을 때 답만 적지 않고 정리된 결과의 모양을 분류한다.
- 0=0이 되면 모든 x에서 성립하므로 항등식이다.
- 0=c처럼 c가 0이 아닌 모순이 되면 성립하는 x가 없다.
- x=a처럼 특정 값이 나오면 그 값이 방정식의 해다.
예를 들어 2(3x-1)=6x+4는 6x-2=6x+4에서 -2=4가 되므로 해가 없다. 이를 x=4처럼 임의의 수로 바꾸어 적어서는 안 된다. 식을 정리한 뒤 결과가 어느 범주에 해당하는지 말로 기록하는 것이 검산 항목이 된다.
귀가 후 짧은 계산에서도 먼저 성립 범위를 표시하기
미아동의 귀가 시각과 과제량에 따라 긴 풀이 시간을 확보하기 어려운 날에는 문제마다 다음 표시를 식 옆에 남긴다.
① 특정 x를 찾는가? ② 모든 x에서 참인가? ③ 성립하는 x가 없는가?
이 표시를 먼저 한 뒤 전개와 이항을 수행한다. 예를 들어 7x+9=7x+9는 처음부터 양변이 같으므로 모든 실수 x에서 성립한다. 반면 7x+9=30은 x=3이라는 특정 해를 구해야 한다. 계산 속도를 높이더라도 이 판단을 생략하지 않는지가 현재 학습 상태를 확인하는 기준이다.
새 수치와 표의 관계를 함께 확인하는 시간 제한 점검
훈련 뒤에는 같은 식을 반복하지 않고 다음 문항을 제한된 시간 안에 제시한다.
3(2x-5)=6x-15
정리하면 6x-15=6x-15, 즉 0=0이므로 모든 실수 x에서 성립한다. 학생이 x=5처럼 특정 답을 만들지 않고 ‘항등식’이라고 판단하는지 본다.
이어서 표에서 한 변수의 값이 2배, 3배로 변할 때 다른 변수도 같은 비율로 변하는지 확인하게 한다. 예를 들어 x가 1, 2, 4이고 y가 6, 12, 24라면 y=6x로 정비례한다. x가 1, 2, 4이고 y가 24, 12, 6이라면 xy=24이므로 반비례한다. 시간 제한을 줄여도 표의 변화 관계를 먼저 읽고, 식의 성립 범위와 그래프의 관계를 혼자 구분하는지가 확인 대상이다.
정답보다 먼저 남아야 할 한 줄
새 문제에서 계산 결과가 나오면 답 옆에 “모든 x에서 성립”, “x=○에서만 성립”, 또는 “성립하는 x가 없음” 중 하나를 적게 한다. 이 한 줄이 남아 있어야 풀이가 계산으로 끝난 것이 아니라 식의 의미까지 판별한 것으로 볼 수 있다.