지수의 크기는 지수만 보고 결정되지 않는다
강동구고2수학과외 수업에서 강일동과 고덕동처럼 귀가 시간과 학교 프린트 정리 시간이 다른 학생들의 풀이를 살펴보면, 지수법칙 자체는 적었지만 밑의 범위를 비교에 반영하지 않은 장면이 자주 드러난다. 이때는 풀이량보다 한 줄의 판단 근거를 정확히 남기는 것이 중요하다.
학생이 다음 비교의 첫 줄에 이렇게 적었다.
\[ \left(\frac12\right)^3 \quad\text{와}\quad \left(\frac12\right)^5 \]
“지수는 \(5\)가 더 크므로 \(\left(\frac12\right)^5\)가 더 크다.”
이 결론은 밑의 범위를 빠뜨린 오답이다. 밑이 \(2\)처럼 \(1\)보다 큰 경우에는 지수가 커질수록 값이 커지지만, \(\frac12\)는 \(0<\frac12<1\)이므로 지수가 커질수록 값은 작아진다.
\(0<a<1\)에서 지수가 커질 때 값이 작아지는 이유
계산으로 확인하면
\[ \left(\frac12\right)^3=\frac18,\qquad \left(\frac12\right)^5=\frac1{32} \]
따라서
\[ \left(\frac12\right)^3>\left(\frac12\right)^5 \]
이다. 지수법칙으로도 같은 결과를 볼 수 있다.
\[ \left(\frac12\right)^5 = \left(\frac12\right)^3\left(\frac12\right)^2 = \left(\frac12\right)^3\cdot\frac14 \]
양수인 \(\left(\frac12\right)^3\)에 \(\frac14\)를 곱했으므로 원래 값보다 작아진다. 따라서 이 문제의 판단 순서는 ‘지수 비교’가 아니라 먼저 ‘밑의 범위 확인’이어야 한다.
풀이 줄 위에 밑의 범위를 먼저 고정하기
재풀이에서는 오류 유형을 여러 개 동시에 찾지 않고, 이번에는 범위만 확인하도록 한다. 답안 첫 줄에 다음을 적는다.
\[ 0<\frac12<1 \]
그 뒤에만 비교 규칙을 연결한다.
\[ 0<a<1,\quad 3<5 \quad\Longrightarrow\quad a^3>a^5 \]
이렇게 쓰면 지수 \(5\)가 크다는 사실과 값의 대소를 무조건 같은 방향으로 연결하는 실수를 막을 수 있다. 반대로 밑이 \(2\)라면
\[ 2^3<2^5 \]
가 되므로, 지수 비교의 방향은 밑의 범위에 따라 달라진다.
정답만 보고 근거를 거꾸로 복원하는 확인
새 조건으로 다음 문제의 답만 먼저 제시한다.
\[ \left(\frac35\right)^7 \quad\text{와}\quad \left(\frac35\right)^4 \]
정답은
\[ \left(\frac35\right)^7 < \left(\frac35\right)^4 \]
이다. 이제 학생이 이 결과의 근거를 거꾸로 복원한다.
\[ 0<\frac35<1,\qquad 4<7 \]
따라서 밑이 \(1\)보다 작은 지수식에서는 지수가 큰 쪽의 값이 작아진다. 마지막으로 \(\left(\frac35\right)^7=\left(\frac35\right)^4\left(\frac35\right)^3\)을 적어, \(0<\left(\frac35\right)^3<1\)임을 확인하면 부등호 방향까지 설명할 수 있다.