강동구고1수학과외, 문자식 속 수치 계산의 순서 찾기
문자와 숫자가 함께 있는 식을 풀 때는 모든 항을 한꺼번에 계산하려 하지 말고, 값이 이미 결정된 수치 부분부터 찾아야 한다. 예를 들어 식 3a-2(5-8)+|−4|에서 문자 a의 값은 아직 정해지지 않았지만, 괄호 안의 5-8과 절댓값 |−4|는 바로 계산할 수 있다. 따라서 수치 계산을 먼저 해도 되는 부분은 문자식의 의미를 바꾸지 않는 독립된 수치식이다.
답은 맞았지만 계산 근거가 비어 있던 식
강동구의 한 고등학교 수학 프린트에서 학생은 다음 식을 계산했다.
2x+3(7-10)-|−6|
답안에는 곧바로 2x-9-6=2x-15라고 적혀 있었다. 결과는 맞지만, 왜 7-10=-3이고 |−6|=6인지 표시하지 않았다. 학생은 수치 계산을 실제로 했으나, 수치 부분을 찾아 계산했다는 근거가 답안에 남아 있지 않아 다음 식에서는 계산 순서를 안정적으로 재현하기 어려운 상태였다.
문자와 숫자의 역할을 분리해서 표시하기
먼저 문자 x가 들어간 항은 그대로 두고, 값이 정해진 부분만 괄호로 묶어 확인한다.
2x+3(7-10)-|−6|
7-10=-3, |−6|=6
이제 식은
2x+3(−3)-6
이므로 곱셈을 계산하면
2x−9−6=2x−15
여기서 3(−3)=-9가 되는 것은 양수 3과 음수 −3의 곱이기 때문이다. 반면 절댓값은 부호를 없애는 계산이므로 |−6|=6이다. 부호 판단과 절댓값 계산을 같은 종류의 조작처럼 처리하지 않고, 각각의 근거를 한 줄씩 남겨야 한다.
수치 계산을 먼저 해도 되는 조건
- 문자 값에 따라 달라지지 않는 수치식인가?
- 괄호 안의 계산이 곱셈이나 문자식의 구조를 바꾸지 않는가?
- 음수의 부호와 절댓값의 의미를 따로 확인했는가?
예를 들어 4(y+2)-3(6-9)에서는 6-9=-3을 먼저 계산할 수 있다. 따라서 4(y+2)-3(−3)=4(y+2)+9가 된다. 그러나 4(y+2)를 문자 y의 값 없이 수치로 계산할 수는 없다. 숫자가 보인다는 이유만으로 식 전체를 수치 계산 대상으로 삼아서는 안 된다.
말로 설명한 뒤 식을 완성하는 짧은 훈련
풀이를 시작하기 전 학생이 “문자와 관계없는 괄호 안 수치식은 먼저 계산하고, 음수의 곱셈 부호와 절댓값은 따로 확인하겠습니다”라고 말하게 한다. 그다음 다음 식에 표시를 남긴다.
−2b+5(3−8)+|−7|
수치 부분은
3−8=−5, |−7|=7
이므로
−2b+5(−5)+7=−2b−25+7=−2b−18
처럼 계산한다. 말로 근거를 설명한 직후 수치 부분을 실제로 적게 해야, 정답만 맞히는 습관에서 벗어나 계산의 출발점을 답안에 남길 수 있다.
생활 리듬에 맞춘 확인과 일주일 뒤의 변형 검증
강일동이나 상일동처럼 귀가 시간이 비교적 일정한 학생은 학교 프린트에서 식 두 개만 골라 짧게 확인할 수 있고, 둔촌동·성내동 등 이동 시간이 달라지는 학생은 귀가 후 확보된 시간에 한 식의 풀이 근거만 점검해도 된다. 학교와 주거지 거리에 따라 분량을 같게 정하기보다, 수치 부분을 찾고 이유를 적는 행동을 유지하는지가 기준이다.
일주일 뒤에는 숫자와 문자를 바꾼 식 −3m+2(11−15)+|−5|를 제시한다. 학생은 먼저 11−15=−4, |−5|=5라고 분리해 적고,
−3m+2(−4)+5=−3m−8+5=−3m−3
을 얻어야 한다. 새로운 수에서도 음수 부호를 판단한 뒤 절댓값을 계산하는 순서를 유지하고, 식의 표현이 달라도 ‘문자와 무관한 수치 부분을 먼저 찾아 근거를 남긴다’는 같은 개념으로 설명한다면 이 학습 항목을 마무리할 수 있다.