강동구고3수학과외

강동구 고3수학과외, 점화식 극한에서 첫 어긋남 찾기

강동고등학교, 강일고등학교, 광문고등학교 등 강동구의 여러 학교 학생은 학교와 주거지 사이 이동 시간에 따라 오답을 다시 확인할 수 있는 시간이 달라진다. 강일동·고덕동·명일동처럼 생활권이 다른 경우에도 핵심은 풀이량보다 조건을 끝까지 확인하는 습관이다.

고정점만 구한 풀이가 왜 충분하지 않은가

다음 점화식으로 정의된 수열을 보자.

a₁=6, a_n+1=(a_n+2)/2

학생은 답안에 다음처럼 적었다.

a_n이 수렴한다고 하면 극한을 L이라 둘 수 있으므로

L=(L+2)/2

2L=L+2, L=2

이 계산 자체는 맞지만, 이 수열이 실제로 수렴한다는 확인이 빠져 있으므로 완성된 풀이가 아니다. 점화식의 극한에서는 고정점 L을 구하는 것과 실제 항들이 그 값에 접근하는 것은 별개의 조건이다.

식·표·그래프가 만나는 지점 확인

점화식을 고정점에서 얼마나 떨어져 있는지로 바꾸면 오류가 분명해진다.

a_n+1−2=(a_n+2)/2−2=(a_n−2)/2

따라서

a_n−2=(a₁−2)(1/2)ⁿ⁻¹=4(1/2)ⁿ⁻¹

즉,

a_n=2+4(1/2)ⁿ⁻¹

이고 0<1/2<1이므로 4(1/2)ⁿ⁻¹→0이다. 따라서 실제 수열은 2로 수렴한다.

• a₁=6
• a₂=4
• a₃=3
• a₄=5/2

표의 값이 2에 가까워지고, 함수 y=(x+2)/2의 그래프에서도 x=2가 고정점임을 확인할 수 있다. 이 점화식은 모든 실수에서 정의되므로 정의역 밖의 값도 남아 있지 않다.

오답을 지우고 검산 지점을 남기는 과정

학생은 오답을 다시 볼 때 계산이 맞는 줄까지 모두 지우지 않고, 틀린 원인을 한 문장으로만 적는 습관이 있었다. 이번에는 다음 순서로 답안을 고쳤다.

1. 틀린 줄 표시: “L=2이므로 수렴한다”에 별표를 붙인다.
2. 조건 확인: 점화식의 계수 1/2가 절댓값 1보다 작은지 확인한다.
3. 식 수정: a_n+1−2=(a_n−2)/2를 만든다.
4. 검산: a₁=6을 일반항에 대입해 6이 나오는지 확인한다.
5. 역계산: 일반항을 점화식에 대입해 a_n+1=(a_n+2)/2가 성립하는지 확인한다.

실제로 일반항에 n=1을 대입하면 2+4=6이고, n=2를 대입하면 2+2=4이므로 처음 두 항과도 일치한다.

계수를 바꾼 독립 검증

같은 풀이를 반복하지 않고 다음 문제로 조건을 바꾸어 확인했다.

b₁=5, b_n+1=−b_n+4

고정점만 구하면

L=−L+4 → 2L=4 → L=2

이지만 실제 항은

b₁=5, b₂=−1, b₃=5, b₄=−1

로 반복되므로 수렴하지 않는다. 여기서는 고정점 L=2가 존재해도 점화식의 변화율이 −1이어서 수열이 2에 접근하지 않는다. 따라서 고정점의 존재만으로 수렴을 판정할 수 없고, 계수의 절댓값과 실제 항의 변화를 함께 확인해야 한다.