천호동고2수학과외

천호동고2수학과외: 지수함수의 수평점근선을 변형식에서 다시 세우는 연습

학교 프린트와 지필평가 범위가 달라질 때 지수함수 문제는 식의 모양만 보고 이전 답안을 복사하기 쉽다. 천호동 생활권에서 평일 귀가 시간 뒤 짧게 문제를 풀더라도, 점근선과 그래프의 방향을 새 식에 맞춰 다시 판단하는 과정이 필요하다. 성덕고등학교 문제를 중심으로 공부하되, 같은 강동구의 한영고등학교·광문고등학교·동북고등학교·선사고등학교는 해당 지역 학교가 아닌 참고 학교라는 점도 구분할 필요가 있다.

y=2^x+3에서 y=0을 적은 이유

변형문제를 풀던 답안에

y=2^x+3의 수평점근선은 y=0

이라고 적혀 있었다. 이는 기본형 y=2^x의 점근선 y=0을 새 식에 그대로 옮긴 오류다. 실제로 x가 매우 작아지면 2^x는 0에 가까워지므로

y=2^x+3 → 3

이다. 따라서 수평점근선은 y=3이다. 그래프 전체가 기본 지수함수보다 위로 3만큼 이동했으므로 점근선도 y=0에서 y=3으로 이동한다.

계수와 부호가 점근선과 방향을 따로 결정한다

일반적인 형태를

y=a·b^x-h+k

로 보면, b>0이고 b≠1일 때 수평점근선은 y=k이다. 앞의 계수 a는 점근선을 바꾸지 않지만 그래프가 점근선의 위쪽 또는 아래쪽에 놓이는지, 증가인지 감소인지를 바꾼다.

예를 들어

y=-3·2^x-1+5

에서는 2^x-1이 0에 가까워질 때 y가 5에 가까워지므로 점근선은 y=5이다. 또 -3·2^x-1은 항상 음수이므로 그래프는 점근선 y=5의 아래쪽에 있다. x가 증가하면 2^x-1이 증가하므로 y는 감소한다.

즉, 식을 볼 때 먼저 마지막 상수항 k를 찾아 점근선 y=k를 정하고, 그다음 a의 부호와 밑 b의 크기로 방향을 판단해야 한다. 점근선과 증가·감소는 한 번에 복사하는 정보가 아니라 새 식에서 각각 확인할 대상이다.

오류가 시작된 줄에서 다시 이어 푸는 방식

이전 풀이를 처음부터 베껴 쓰는 대신, 점근선을 적는 줄에 다음 세 가지를 바로 덧붙인다.

1. 마지막 이동값을 확인한다.
2. 지수항이 0에 가까워지는 상황을 쓴다.
3. 계수의 부호로 점근선의 어느 쪽에 그래프가 놓이는지 판단한다.

따라서 위 식은

2^x-1→0
y=-3·0+5→5
-3·2^x-1<0

으로 이어진다. 이 기록이 있으면 점근선을 y=0으로 쓰는 실수가 어느 단계에서 생겼는지 즉시 확인할 수 있다.

새 조건에서 점근선과 방향을 함께 확인하기

다음 식을 이전 문제와 구별하여 판단한다.

f(x)=4-2^x+2

2^x+2→0이므로 수평점근선은 y=4이다. 또한 f(x)=4-양수이므로 그래프는 항상 y=4의 아래쪽에 있다. x가 증가할수록 2^x+2가 증가하므로 f(x)는 감소한다.

검산으로 x=-2를 대입하면 f(-2)=3이고, x=0을 대입하면 f(0)=0이다. x가 증가할 때 함수값이 3에서 0으로 내려가므로 감소 판단과도 일치한다. 이처럼 새로운 계수와 부호가 주어졌을 때에도 점근선 y=4, 아래쪽 위치, 감소 여부를 각각 답안에 남기는지를 확인한다.