천호동 고3수학과외에서 확인한 등비급수의 수렴 조건
천호동에서 성덕고등학교에 다니는 학생은 평일 귀가 시간과 학교별 시험 범위를 함께 조정하며 급수 단원을 공부하고 있다. 천호우성아파트 생활권에서 수업한 날, 학생은 앞 문제의 공비가 2/3였다는 이유로 표현 순서가 달라진 새 문항에도 같은 결론을 적용했다.
공비의 부호가 바뀐 순간을 놓친 풀이
다음 급수의 수렴 여부를 판단하는 문제였다.
6-9+13.5-20.25+…
첫째항은 \(a=6\), 공비는
\[ r=\frac{-9}{6}=-\frac{3}{2} \]
그런데 학생은 왼쪽 여백에 앞 문제의 풀이를 옮겨 적고 다음과 같이 계산했다.
\[ S=\frac{a}{1-r} =\frac{6}{1-\left(-\frac32\right)} =\frac{6}{\frac52} =\frac{12}{5} \]
이 값은 정답이 아니다. 무한등비급수의 합 공식은 \(|r|<1\)일 때만 사용할 수 있다. 여기서는
\[ \left|-\frac32\right|=\frac32>1 \]
이므로 항의 절댓값이 \(6,\ 9,\ 13.5,\ 20.25,\dots\)처럼 커진다. 따라서 일반항 \(a_nr^{n-1}\)이 0으로 가지 않으며 급수는 발산한다. 식의 분모를 계산한 것만으로 합이 존재한다고 판단한 것이 오류였다.
틀린 줄을 표시하고 조건부터 다시 확인하기
학생은 오답 줄의 왼쪽에 “수렴조건 누락”이라고 적고, 공비가 바뀌는 지점을 따로 표시했다.
- 첫째항: \(a=6\)
- 공비: \(-3/2\)
- 수렴 조건: \(|r|<1\)
- 판정: \(3/2>1\)이므로 발산
그다음 합 공식을 바로 쓰지 않고 부분합으로 확인했다.
\[ S_1=6,\quad S_2=-3,\quad S_3=10.5,\quad S_4=-9.75 \]
부분합이 한 값으로 가까워지지 않고 부호까지 번갈아 바뀌므로 \(12/5\)를 합으로 둘 수 없다는 사실을 확인했다. 특히 \(r=2/3\)인 이전 문제의 수렴 결론을 \(r=-3/2\)인 현재 문제에 옮긴 것이 핵심 실수였다. 공비의 부호뿐 아니라 절댓값이 1보다 작은지도 반드시 검토해야 한다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 풀이를 반복하지 않기 위해 첫째항과 공비를 모두 바꾼 문제를 풀었다.
\[ -8+6-\frac{9}{2}+\frac{27}{8}-\cdots \]
이 급수에서
\[ a=-8,\qquad r=\frac{6}{-8}=-\frac34 \]
이고 \(|r|=3/4<1\)이므로 수렴한다. 합은
\[ S=\frac{-8}{1-\left(-\frac34\right)} =\frac{-8}{\frac74} =-\frac{32}{7} \]
이다. 학생은 마지막으로 \(S=a+rS\)에 대입하여
\[ -\frac{32}{7}=-8+\left(-\frac34\right)\left(-\frac{32}{7}\right) =-8+\frac{24}{7} =-\frac{32}{7} \]
로 역검산했다. 이제는 합 공식의 계산보다 먼저 공비의 절댓값과 항의 변화를 확인하는 방식으로 등비급수 문제를 독립적으로 적용하고 있다.