천호동고1수학과외: 두 나눗셈 조건으로 미지계수 정하기
천호동 성덕고등학교의 학교 프린트와 교과서 문제를 함께 복습할 때는, 다항식을 어떤 식으로 나누는지보다 두 조건이 각각 어떤 식을 만들어 내는지 먼저 확인해야 한다. 천호동고1수학과외 학습에서도 이 판단을 답안에 남기는 것이 출발점이다.
계산보다 먼저 적어야 할 나눗셈 조건
다항식 P(x)=x3+ax2+bx+6이 x-1로 나누어떨어지고 x+2로도 나누어떨어진다고 하자. 나머지정리에 따라 각각의 조건은 다음처럼 바뀐다.
- x-1로 나누어떨어짐: P(1)=0
- x+2로 나누어떨어짐: P(-2)=0
따라서 두 미지계수에 대한 식을 두 개 얻을 수 있다.
P(1)=1+a+b+6=a+b+7=0
P(-2)=-8+4a-2b+6=4a-2b-2=0
둘째 식을 2로 나누면 2a-b=1이다. 이제 연립하면
a+b=-7, 2a-b=1
두 식을 더하여 3a=-6이므로 a=-2, b=-5이다.
답안에서 사라진 근거
관찰한 답안에는 문제의 조건을 다시 적은 흔적 없이 곧바로 계수 계산이 시작되어 있었다. 나눗셈 조건을 먼저 정하지 않은 채 중간 계산에서 필요한 성질을 뒤늦게 골랐고, 다음 줄로 넘어갈 때 ‘두 조건으로 두 계수를 결정한다’는 판단도 확인하지 않았다.
학생이 적은 풀이: a+b=-7, 4a-2b=2 → 계산 진행
이 식 자체는 올바르게 얻었다면 사용할 수 있지만, 어떤 나눗셈 조건에서 나온 식인지 설명이 없었다. 그래서 부호나 대입값을 바꾸어도 스스로 오류를 찾기 어려운 상태였다.
두 식이 생기는 과정을 말로 설명하기
수정할 때는 계산을 시작하기 전에 “x-1로 나누어떨어지므로 P(1)=0, x+2로 나누어떨어지므로 P(-2)=0이다. 서로 다른 두 조건이므로 a,b에 대한 연립방정식을 만든다”라고 말하게 한다.
그 뒤 실제 식을 작성하고, 구한 값을 원래 조건에 대입한다.
P(1)=1-2-5+6=0
P(-2)=-8+4(-2)-2(-5)+6=0
두 나눗셈 조건을 모두 만족하므로 a=-2, b=-5가 맞다. 단순히 연립방정식의 답만 쓰는 것이 아니라, 각 조건이 어느 값의 함수값으로 바뀌었는지를 답안에 남겨야 한다.
학교 프린트의 표현이 달라졌을 때
교과서와 표현이 다른 프린트에서는 문제의 제목과 표의 항목부터 읽는다. 예를 들어 표 제목이 ‘나눗셈에 따른 나머지’이고 행에 x-3, x+1이 적혀 있다면, 각 행의 나머지가 0인지 먼저 확인해야 한다. 나머지가 0인 행은 각각 P(3)=0, P(-1)=0으로 해석된다.
표의 ‘전체 다항식’과 ‘특정 나눗셈 조건에 해당하는 부분’이 섞여 있다면 어느 값이 전체 식에 대한 조건인지 구분한다. 단위가 표시된 자료라면 단위를 먼저 확인하되, 다항식의 계수를 구하는 문제에서는 나머지의 값과 조건의 대상을 혼동하지 않는다.
새 조건에서 확인하는 마무리
복습을 끝낼 때는 같은 식을 다시 풀지 않고 다음 문제를 사용한다.
Q(x)=x3+cx2+dx-4가 x-2와 x+1로 각각 나누어떨어질 때 c,d를 구한다.
먼저 Q(2)=8+4c+2d-4=0에서 2c+d=-2를 만들고, Q(-1)=-1+c-d-4=0에서 c-d=5를 만들어야 한다. 두 식을 연립하면 c=1, d=-4이다.
이때 정답만 맞히는지 보지 않고, 문제의 제목과 조건을 읽은 뒤 두 나눗셈 조건을 각각 함수값 0으로 바꾸고 있는지 확인한다. 풀이 근거를 스스로 기록하고, 그날의 학교 프린트와 교과서에서 해당 유형의 복습을 마칠 시점도 직접 정해 기록하게 한다. 천호동 생활권에서 귀가 후 시간이 짧은 날에는 이 판단 기록과 검산까지 끝낸 시점을 복습 종료 시점으로 삼는다.