성내동고2수학과외

성내동고2수학과외: 지수함수의 수평점근선은 밑과 평행이동을 함께 읽어야 한다

성내동에서 학교별 지필평가와 수행평가 일정이 달라 주간 풀이 시간이 일정하지 않더라도, 지수함수의 그래프를 해석할 때는 계산보다 먼저 식의 구조를 확인해야 한다. 특히 수평점근선은 지수 부분이 가까워지는 값과 상수항의 이동을 구분해야 한다.

오답표에 남은 y=0의 근거

학생의 풀이에는 다음과 같이 적혀 있었다.

y=2^x+3의 수평점근선: y=0

이는 기본 지수함수 y=2^x의 수평점근선 y=0을 그대로 옮겨 적은 것이다. 그러나 주어진 함수에서는 지수함수 전체에 3을 더했으므로 그래프가 위로 3만큼 평행이동한다.

밑 2는 0보다 크고 1이 아니므로 지수함수로 성립하며, 모든 실수 x에 대해 2^x>0이다. 따라서

y=2^x+3>3

이고, x가 매우 작아질 때 2^x는 0에 가까워진다. 그러므로 y는 3에 가까워지며 수평점근선은

y=3

이다. y=0은 지수 부분이 0에 가까워지는 값일 뿐, 상수항 3이 포함된 최종 함수의 점근선은 아니다.

기호의 뜻을 말한 뒤 식을 한 줄만 고치기

오답을 수정할 때는 답만 지우지 않고, 학생이 점근선의 의미를 먼저 말하게 했다.

“x가 한쪽으로 갈 때 함수값이 가까워지는 수평선의 식이다. 2^x가 0에 가까워지므로 y값은 3에 가까워진다.”

그 설명에 맞춰 오답표의 한 줄을 다음처럼 바꾼다.

2^x→0 이므로 y=2^x+3→3, 수평점근선은 y=3

이때 밑의 조건도 함께 확인한다. 지수함수 a^x가 실수 범위에서 기본 형태로 사용되려면 a>0, a≠1이어야 한다. 또한 a=2이면 증가함수이지만, 수평점근선의 위치는 증가·감소 여부가 아니라 식의 상수항과 연결된다.

밑이 바뀌어도 상수항을 먼저 읽는 검증

다음 식에서는 숫자와 증가 방향을 바꾸었다.

y=(1/3)^x−7

밑 1/3은 0보다 크고 1이 아니므로 함수가 성립한다. 또한 (1/3)^x>0이고, x가 커질수록 이 값은 0에 가까워진다. 따라서

y=(1/3)^x−7→−7

이므로 수평점근선은 y=−7이다. 학생이 계산보다 조건을 먼저 보았다면 답안에는 밑의 범위, 지수 부분의 접근값 0, 상수항 −7이 차례로 남아 있어야 한다.

성내동의 생활권에서 귀가와 학교별 주간 일정이 달라 풀이 시간이 나뉘더라도, 지수함수 점근선 문제에서는 “밑이 허용되는가, 지수 부분이 어디로 가는가, 상수항이 얼마만큼 이동시키는가”를 한 줄씩 확인하는 과정이 판단의 기준이 된다.