성내동고1수학과외, 나눗셈과 나머지정리로 접선 조건 검산하기
성내동의 성내삼성아파트와 성내동미주아파트 생활권에서 학교 프린트와 문제집을 함께 풀다 보면, 원의 접선 문제를 연립식부터 처리하는 경우가 있다. 이때 접점·중심·거리 조건을 그림에 표시하지 않으면 계산 결과가 맞아 보여도 접선 여부를 놓칠 수 있다. 특히 식으로 얻은 다항식을 직접 나눈 결과와 나머지정리로 확인한 결과를 서로 대조해야 한다.
계산 전에 원의 중심과 직선까지의 거리를 표시하기
원의 방정식이
(x-2)²+(y+1)²=25
이고 직선이 3x-4y+15=0이라고 하자. 원의 중심은 (2,-1), 반지름은 5이다. 중심에서 직선까지의 거리는
|3×2-4×(-1)+15|／√(3²+(-4)²)=25／5=5
이다. 거리와 반지름이 같으므로 이 직선은 원에 접한다. 학생은 이 표시 없이 곧바로 두 식을 연립했고, 중간 계산에서 접선 조건을 확인한 흔적을 남기지 않았다. 이는 현재 개념을 모르는 상태라기보다, 그림의 기하 조건과 대수적 계산을 연결하지 않은 상태에 가깝다.
연립으로 얻은 식을 다항식으로 정리하기
직선에서 y=(3x+15)/4이므로 원의 식에 대입하면
(x-2)²+((3x+15)/4+1)²=25
즉,
16(x-2)²+(3x+19)²=400
이고 정리한 결과는
25x²+50x+25=0
이다. 이 식은 25(x+1)²=0이므로 접점의 x좌표는 -1 하나만 나온다. 학생이 접선 조건을 표시하지 않은 채 계산하면 이 식을 단순한 이차방정식으로만 다루게 되고, 중근이 나온 이유를 설명하지 못한다.
직접 나눗셈과 나머지정리를 한 식에서 대조하기
접점의 x좌표가 -1이므로 다항식 P(x)=25x²+50x+25를 x+1로 나눈다.
P(x)=(x+1)(25x+25)+0
직접 나눗셈의 나머지는 0이다. 나머지정리를 사용해도
P(-1)=25-50+25=0
으로 같은 결과를 얻는다. 두 결과가 모두 0이라는 사실은 x=-1이 실제 근이며, 접선과 원이 만나는 x좌표가 하나로 겹친다는 계산상의 근거가 된다.
풀이 줄 아래에 “중심에서 직선까지의 거리=반지름 → 접선, 직접 나눗셈의 나머지=P(-1)=0”이라고 남기면 기하 조건과 대수 검산이 분리되지 않는다.
표현이 바뀐 문제에서 같은 연결을 재현하는지 보기
새 문제로 원 (x-1)²+(y-2)²=9와 직선 4x-3y+17=0을 제시한다. 중심 (1,2)에서 직선까지의 거리는
|4-6+17|／5=15／5=3
이므로 반지름과 같아 접선이다. 직선의 식을 대입하면
25x²+70x+49=0
을 얻는다. 이는 (5x+7)²=0이고, 직접 나눗셈에서
P(x)=(5x+7)(5x+7)+0
이 된다. 또한 P(-7/5)=0이므로 나머지정리와 직접 나눗셈의 결과가 일치한다. 학생이 풀이 시작 전에 거리와 반지름을 비교하고, 마지막에 두 검산을 모두 기록하는지 확인한다.
주간 학습에서 남길 확인 기준
강동구 내 한영고등학교, 광문고등학교, 동북고등학교, 성덕고등학교, 선사고등학교 등은 성내동 소재 학교가 아닌 통학권 참고 학교이므로, 학교별 프린트와 문제집의 표현이 달라도 다음 연결만 확인한다.
- 원의 중심과 반지름을 식에서 찾았는가.
- 중심에서 직선까지의 거리와 반지름을 비교했는가.
- 연립으로 만든 다항식을 직접 나누었는가.
- 같은 값을 나머지정리로 대입해 나머지를 확인했는가.
시험 직전 새 교재를 계속 추가하기보다 이 네 항목 중 미완료된 확인을 먼저 끝내는 것이 적절하다.