성내동고3수학과외

성내동 고3수학과외: 등비급수에서 조건을 먼저 확인하는 풀이

성내동에는 해당 지역명 주소로 확인되는 고등학교가 없으며, 한영고등학교·광문고등학교·동북고등학교·성덕고등학교·선사고등학교 등 강동구 내 학교를 통학권 참고 자료로 볼 수 있다. 성내삼성아파트와 성내동미주아파트 주변처럼 생활권과 통학 시간이 학생마다 다르므로, 같은 지역이라도 주간 학습 일정과 내신 대비 방식은 달라질 수 있다.

공비의 절댓값을 확인하지 않고 합부터 계산한 경우

학생은 다음 급수의 합을 구하는 과정에서 공비 조건을 적지 않았다.

Σ_n=0^∞ 3(1/2)ⁿ

학생의 풀이: 첫째항은 3, 공비는 1/2이므로
S = 3 ÷ (1 - 1/2) = 6

계산 결과 6은 맞지만, 이 풀이만으로는 등비급수의 수렴 조건을 확인한 과정이 빠져 있다. 학생은 재풀이에서도 Σ3(1/2)ⁿ에서 공비 조건 |r|<1을 적지 않았다. 등비급수의 합 공식은 모든 공비에 사용할 수 있는 식이 아니라, 공비 r이 |r|<1일 때 부분합의 극한으로 성립한다.

부분합의 극한으로 식의 범위를 확인하기

첫째항이 3이고 공비가 1/2인 경우, n=0부터 n=N까지의 부분합은

S_N = 3 + 3/2 + 3/4 + ··· + 3(1/2)^N

이며 등비수열의 부분합 공식에 따라

S_N = 3{1 - (1/2)^N+1} / {1 - 1/2}

이다. 여기서 |1/2|<1이므로 N이 무한히 커질 때 (1/2)^N+1은 0으로 수렴한다. 따라서

lim_N→∞S_N = 3(1 - 0)/(1 - 1/2) = 6

이 된다. 즉, 학생의 답 6 자체는 맞지만, 반드시 공비 r=1/2에 대해 |r|<1임을 먼저 적어야 한다.

틀린 줄을 표시하고 다시 검산한 과정

• 틀린 줄 표시: 공비 조건을 확인하지 않고 S = 3/(1-r)을 바로 적용함.
• 조건 확인: 일반항은 3(1/2)ⁿ이고 공비는 r=1/2이므로 |r|=1/2<1이다.
• 식 수정: 수렴 조건 |r|<1을 적은 뒤 S = a/(1-r)에 대입한다.
• 대입 검산: S = 3/(1-1/2)=6.
• 부분합 검산: 3+1.5+0.75+0.375+···는 항이 0에 가까워지며 합이 6에 가까워진다.

또한 급수의 시작 첨자도 확인해야 한다. 만약 같은 식을 n=1부터 더하면

Σ_n=1^∞3(1/2)ⁿ = 3/2 + 3/4 + 3/8 + ··· = 3

이므로 n=0부터 시작할 때의 합 6과 달라진다. 초항과 시작 범위를 함께 확인해야 하는 이유다.

초항과 공비를 바꾼 독립 검증

같은 문제를 반복하지 않고 다음 급수로 검증했다.

Σ_k=1^∞ 5(-2/3)^k-1

초항은 5, 공비는 -2/3이므로

|r| = 2/3 < 1

이다. 따라서 수렴하며, 부호가 번갈아 바뀌더라도 등비급수의 합 공식이 적용된다.

S = 5 / {1 - (-2/3)} = 5/(5/3) = 3

첫 항부터 직접 확인하면 5 - 10/3 + 20/9 - 40/27 + ···이고, 부분합은 3에 가까워진다. 새 문제에서도 학생은 첫 줄에 |r|<1을 적고, 공비의 부호와 시작 지수를 확인한 뒤 합을 계산했다.