상일동고2수학과외에서 확인한 지수함수의 밑과 증가·감소 판단
상일동의 상일여자고등학교, 상일미디어고등학교, 한영고등학교, 강동고등학교, 한영외국어고등학교처럼 학교별 내신 일정과 프린트 진도가 다르면, 같은 지수함수라도 계수와 지수 표현이 바뀐 문제에 대응하는 과정이 중요하다. 상일주공5단지와 상일동빌라단지 생활권에서 주간 학습 시간이 다른 학생에게도 먼저 필요한 것은 풀이 절차 암기가 아니라 밑과 그래프 방향의 연결이다.
오른쪽으로 갈수록 커진다고 그린 그래프
풀이 첫 줄에 다음 함수가 제시되었다.
f(x)=2(1/3)x-1-4
그런데 학생은 밑이 1/3이라는 사실을 확인하지 않고, 지수함수는 오른쪽으로 갈수록 커진다고 생각하여 증가하는 그래프를 그렸다. 이 판단은 틀렸다. 0<1/3<1이므로 (1/3)x-1은 감소하고, 앞의 계수 2는 양수이므로 감소 방향이 그대로 유지된다. 따라서 f(x)도 감소함수이다.
또한 그래프의 수평점근선은 y=-4이다. x=1일 때 f(1)=2-4=-2이고, x가 커질수록 2(1/3)x-1이 0에 가까워지므로 함수값은 -4에 가까워진다. 점근선과 증가·감소 방향을 함께 확인해야 식과 그래프가 맞는지 판단할 수 있다.
계수의 부호가 밑의 방향을 바꾸는 순간
밑만 보고 결론을 내리면 다음 변형에서 다시 막힌다.
g(x)=-2(1/3)x+1+5
(1/3)x+1 자체는 감소하지만, 앞에 음수 -2가 곱해졌으므로 전체 함수의 변화 방향은 반대로 바뀐다. 따라서 g(x)는 증가함수이고 수평점근선은 y=5이다.
학생이 직전 예제처럼 증가하는 그래프를 그렸다면 결론만 우연히 맞았을 뿐, 그 이유를 설명하지 못한 상태다. 정답을 지우기 전에 “밑이 1보다 작아 기본 지수함수는 감소하고, 음의 계수가 방향을 반전시킨다”라고 적은 뒤 해당 그래프 단계만 수정하게 했다.
새 숫자로 방향과 점근선을 함께 검산하기
이후에는 다음 문제를 제시했다.
h(x)=-3(1/3)x-2+1
밑은 1/3이므로 기본식은 감소한다. 계수 -3이 방향을 반전시키므로 h(x)는 증가함수이며, 점근선은 y=1이다. 실제 값도 확인한다.
- h(2)=-3+1=-2
- h(3)=-3·(1/3)+1=0
x가 2에서 3으로 증가할 때 함수값이 -2에서 0으로 증가하므로 그래프 방향은 증가가 맞다. 동시에 h(x)=1은 유한한 x에서 도달하는 값이 아니라 점근선이므로 그래프에 수평선 y=1을 표시한다.
마지막에는 식의 밑, 계수의 부호, 평행이동값을 표시한 뒤 숫자를 대입해 함수값의 변화를 확인했다. 새로운 표현에서도 점근선과 방향을 생략하지 않고, 오류 원인을 먼저 문장으로 남긴 다음 필요한 단계만 고쳤는지가 판단 기준이 된다.