상일동고1수학과외, \(x+a\)의 대입값이 \(-a\)인 이유
상일여자고등학교, 한영고등학교, 강동고등학교 등 상일동의 학교별 일정에 따라 학교 프린트와 내신 문제를 정리하는 시점은 달라질 수 있다. 그러나 다항식을 \(x+a\)로 나눌 때 나머지를 구하는 판단은 식의 구조에서 출발해야 한다.
\(x+3\)을 보고 \(3\)을 넣은 오답
다항식 \(P(x)=2x^3-x^2+4x-7\)을 \(x+3\)으로 나눌 때, 한 학생은 나눗셈의 나머지를 구하며 \(P(3)\)을 계산했다. 즉, \(x+3\)의 숫자 3을 그대로 대입한 것이다.
하지만 나머지정리에 사용할 값은 \(P(3)\)이 아니라 \(P(-3)\)이다. 이 오답은 계산 실수라기보다 나누는 식을 \(x-3\)처럼 읽은 데서 생긴다.
부호를 바꾸는 이유는 나누는 식을 표준형으로 바꾸기 때문이다
나머지정리는 \(P(x)\)를 \(x-r\)로 나눌 때 나머지가 \(P(r)\)라고 말한다. 따라서
\(x+a=x-(-a)\)
로 고쳐 쓰면 \(r=-a\)가 된다. 그러므로 \(x+3=x-(-3)\)이고, 나머지는 \(P(-3)\)이다.
실제로 위 식에서
\(P(-3)=2(-3)^3-(-3)^2+4(-3)-7=-54-9-12-7=-82\)
이다. 반면 \(P(3)=54-9+12-7=50\)이므로 두 값은 전혀 다르다.
식 옆에 대입값을 먼저 고정하기
풀이할 때 \(x+3\)을 보자마자 계산하지 않고, 다음처럼 한 줄을 먼저 적는다.
\(x+3=x-(-3)\), 따라서 \(r=-3\)
그 뒤에 \(P(-3)\)을 계산한다. 오답노트에도 정답 \(-82\)만 적는 대신, ‘\(x+a\)는 \(x-(-a)\)로 바꾸고 \(-a\)를 대입한다’라는 바뀐 행동을 남긴다. 이 과정을 말로 설명하지 않은 채 정답만 다시 쓰면, 숫자가 바뀐 문제에서 같은 오류가 반복될 수 있다.
괄호가 달라진 식에서 순서를 유지하는지 보기
훈련 문제를 \(Q(x)=x^3-4x^2+2x+9\)를 \(x+5\)로 나누는 문제로 바꾸면 먼저
\(x+5=x-(-5)\)
를 확인해야 한다. 따라서 나머지는
\(Q(-5)=(-5)^3-4(-5)^2+2(-5)+9=-125-100-10+9=-226\)
이다. 여기서 \(Q(5)\)를 계산하면 \(125-100+10+9=44\)가 되어 다른 결과가 나온다. 새 숫자와 새 다항식에서도 ‘나누는 식을 \(x-r\) 꼴로 바꾼 뒤 \(r\)을 대입하는 순서’를 유지하는지가 확인할 기준이다.
학교 프린트와 변형 문제를 연결하는 확인
상일동빌라단지나 상일주공5단지에서 귀가한 뒤 짧은 시간에 학교별 프린트를 정리할 때는 문제를 많이 푸는 것보다, 각 문제에서 대입값을 정한 근거를 풀이 첫 줄에 남기는 방식이 효과적이다. 같은 강동구의 광문고등학교는 참고 학교일 뿐 상일동 소재 학교로 구분하지 않으며, 학교별 주간 일정에 맞춰 변형 문제를 한두 개씩 점검하면 된다.
마지막 문제에서 학생이 \(x+5\)를 보고 \(-5\)를 선택한 뒤, 왜 \(x-(-5)\)가 되는지 설명하고 \(Q(-5)\)까지 정확히 계산한다면 단순 암기가 아니라 나누는 식의 구조를 적용한 것으로 볼 수 있다.