상일동 고3수학과외에서 확인한 무한급수의 첫 판단과 검산
상일동에는 상일여자고등학교, 상일미디어고등학교, 한영고등학교, 강동고등학교, 한영외국어고등학교가 있으며, 같은 강동구의 광문고등학교는 별도 참고 학교로 구분된다. 학교별 내신 운영과 학생의 주간 일정이 다르므로, 급수 문제도 풀이 속도보다 조건을 먼저 읽는 습관을 중심으로 점검했다.
그래프 모양보다 일반항의 조건을 먼저 확인하기
학생은 이전 예제를 가린 뒤에도 등비급수의 그래프 모양을 먼저 그렸다. 그러나 무한급수에서는 부분합의 모양을 추측하기 전에 일반항의 극한과 공비 조건을 확인해야 한다.
예를 들어
S=\sum_{n=1}^{\infty}6\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}
을 풀 때는 첫 항 a=6, 공비 r=-\frac13을 밑줄로 표시한다. |r|=\frac13<1이므로 수렴하고, 부호가 번갈아 바뀌지만 부분합은 하나의 값으로 가까워진다.
부분합은
S_N=6\frac{1-\left(-\frac13\right)^N}{1+\frac13}
이고, N\to\infty에서
S=6\div\left(1+\frac13\right)=\frac92
이다. 실제로 첫 네 항의 부분합은 6-2+\frac23-\frac29=\frac{40}{9}로 \frac92\)에 가까워지므로 부호와 계산을 함께 검산할 수 있다.
학생의 오답: 항의 극한만으로 수렴을 결정한 경우
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt n}에서 \lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt n}=0이므로 수렴한다.
이 결론은 틀렸다. 무한급수가 수렴하려면 일반항이 0으로 가야 하지만, 일반항의 극한이 0이라는 사실만으로 급수의 수렴이 보장되지는 않는다. 이 급수는 p=\frac12\le1인 p-급수이므로 발산한다.
학생은 ‘항이 0’이라는 중간식에서 멈췄지만, 실제로 확인해야 할 것은 항들의 합인 부분합이다. \sum_{n=1}^{N}\frac1{\sqrt n}\)은 항이 계속 양수이고, 적분판정으로
\sum_{n=1}^{N}\frac1{\sqrt n}\ge\int_1^{N+1}\frac{dx}{\sqrt x}=2\left(\sqrt{N+1}-1\right)
이므로 N\to\infty일 때 무한히 커진다. 따라서 수렴이 아니라 발산이다.
틀린 줄을 표시하고 식을 다시 세우는 과정
- 틀린 줄 표시: \lim a_n=0\Rightarrow\sum a_n이 수렴한다고 판단한 부분에 표시한다.
- 조건 확인: 항의 극한이 0인 것은 필요조건일 뿐 충분조건이 아니다. 급수의 종류와 공비 또는 p값을 따로 확인한다.
- 식 수정: \sum\frac1{\sqrt n}=\sum\frac1{n^{1/2}}\)로 바꾸어 p-급수의 기준 p>1과 비교한다.
- 검산: 적분판정으로 부분합의 하한을 구하고, 2(\sqrt{N+1}-1)\to\infty임을 확인한다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고 다음 급수를 새로 제시했다.
T=\sum_{n=0}^{\infty}5\left(\frac34\right)^n
이번에는 그래프를 먼저 그리지 않고 a=5, r=\frac34를 표시한다. |r|<1이므로 수렴하며,
T=\frac{5}{1-\frac34}=20
이다. 첫 세 항의 합은 5+\frac{15}{4}+\frac{45}{16}=\frac{185}{16}\)이고, 다음 항들이 양수로 더해져 20에 가까워지는지 확인한다. 이어서 \sum_{n=1}^{\infty}7\left(-\frac54\right)^{n-1}을 제시하면 |r|=\frac54>1이므로 부호가 번갈아도 수렴하지 않는다. 학생은 항의 부호보다 먼저 공비의 절댓값을 확인하고, 마지막에는 일반항이 0으로 가지 않는다는 사실로 발산을 검산한다.