둔촌동고2수학과외

밑을 적지 않은 채 그래프 방향을 정한 순간

둔촌동고2수학과외 학습에서 확인된 한 장면은 식의 계산보다 먼저 밑의 범위를 판별해야 한다는 점을 보여준다. 둔촌고등학교와 동북고등학교의 과제와 지필평가를 오가는 시기에는 풀이량보다 답안에 남긴 판단 근거를 점검하는 것이 중요하다.

y=(1/3)^x를 증가하는 그래프로 그린 오답

학생은 y=(1/3)^x를 보고 점 (0, 1)을 표시한 뒤, 오른쪽으로 갈수록 그래프가 올라가도록 그렸다. 여백에는 밑의 범위나 증가·감소 조건을 적지 않았다.

하지만 지수함수 y=a^x에서 밑이 0<a<1이면 x가 커질수록 함수값은 작아진다. 따라서 y=(1/3)^x는 감소함수이며, x=1에서 y=1/3, x=2에서 y=1/9가 된다. 오른쪽으로 갈수록 아래로 향하고, 점근선은 y=0이다.

그래프보다 먼저 밑의 범위를 판별하기

답안을 시작할 때 식 옆에 다음 기준을 짧게 적는다.

0<a<1이면 감소, a>1이면 증가

그 뒤 주어진 식의 밑을 대입한다. y=(1/3)^x에서는 a=1/3이고 0<1/3<1이므로 감소라고 결정한다. 오류를 발견했을 때는 정답 전체를 지우지 않고, “밑이 0과 1 사이인데 증가 그래프로 그렸다”라고 원인을 한 문장으로 남긴 다음 그래프 방향만 고친다. 이렇게 해야 계산한 점과 증가·감소 판단이 어느 단계에서 어긋났는지 확인할 수 있다.

부호가 바뀐 지수에서 판단 유지하기

다음 식으로 확인한다.

y=2^−x=(1/2)^x

밑을 2로만 보고 증가라고 판단하면 안 된다. 지수를 정리하면 밑이 1/2인 지수함수이므로 감소한다. 실제로 x=0에서 y=1, x=1에서 y=1/2이다. 답안에는 “2^−x는 (1/2)^x이므로 0<1/2<1, 감소함수”라고 적고 그래프가 오른쪽으로 내려가는지 확인한다.

마지막으로 y=3^x−2를 적용한다. 밑은 3>1이므로 평행이동된 위치와 관계없이 증가함수다. x=2에서 y=1을 기준점으로 잡고, x=3에서 y=3이 되는지 대입해 그래프 방향과 식을 함께 검산한다.