둔촌동고3수학과외

둔촌동 고3수학과외에서 무한급수의 수렴 조건 바로잡기

둔촌동의 둔촌고등학교와 동북고등학교를 비롯해 강동구의 한영고등학교, 광문고등학교, 성덕고등학교를 참고하는 학생이라면 귀가 후 과제량과 시험 준비 순서를 함께 점검할 필요가 있다. 이 학생은 문제를 읽자마자 항의 극한만 계산하고, 부분합의 극한을 확인하지 않는 풀이 습관을 보였다.

항이 0인 것과 급수가 수렴하는 것은 다르다

학생은 다음 문제에서 일반항만 확인했다.

문제: 급수 ∑_n=1^∞ 1/n의 수렴 여부를 판단하여라.

학생의 답안은 다음과 같았다.

오답: a_n = 1/n이고 lim_n→∞a_n = 0이므로 급수는 수렴한다.

이 식은 틀렸다. 급수의 수렴은 일반항의 극한이 0인지뿐 아니라 부분합

S_N = ∑_n=1^N 1/n

의 극한이 유한한지로 결정한다. 항이 0으로 가는 것은 수렴의 필요조건일 뿐 충분조건이 아니다. 실제로 조화급수는 발산한다.

부분합의 크기를 묶음으로 확인하기

학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 일반항의 극한과 부분합의 극한을 구분해 다시 적었다.

S_2^k = 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + ··· + 1/8) + ···

각 묶음에서

1/(2^j - 1) + ··· + 1/2^j ≥ 2^j-1 · 1/2^j = 1/2

이므로

S_2^k ≥ 1 + k/2

가 된다. 우변은 k → ∞일 때 무한히 커지므로 부분합은 유한한 값에 가까워지지 않는다. 따라서

∑_n=1^∞ 1/n은 발산한다.

수정한 뒤에는 처음 몇 항을 직접 더해 부분합이 증가하는지 확인하고, 비교식의 방향이 맞는지 역으로 대입했다. 또한 1/n의 그래프가 0에 가까워져도 누적합은 계속 커질 수 있다는 점을 그래프로 확인했다.

조건을 바꾼 독립 검증

같은 오류가 반복되지 않는지 다음 문제로 확인했다.

검증 문제: 급수 ∑_n=0^∞ 5(−2/3)ⁿ의 수렴 여부와 합을 구하여라.

이는 첫째항 a = 5, 공비 r = −2/3인 등비급수이다. 공비의 절댓값이

|r| = 2/3 < 1

이므로 부분합은 극한을 가지며, 합은

S = a/(1-r) = 5/(1+2/3) = 3

이다. 실제로 부분합은 S_N = 3 + 2(−2/3)^N+1이므로 N → ∞에서 3으로 수렴한다. 이번에는 항의 극한뿐 아니라 공비 조건과 부분합 공식을 모두 확인해 올바르게 결론을 냈다.