둔촌동고1수학과외, 나누는 식에서 a를 읽어 나머지 구하기
둔촌고등학교나 동북고등학교의 학교 프린트에서 다항식의 나머지를 묻는 문제를 만났을 때, 식에 보이는 숫자를 곧바로 대입하면 부호 오류가 생길 수 있다. 둔촌청구아파트나 둔촌동진흥아파트 생활권에서 귀가 후 과제와 시험 준비를 함께 진행한다면, 계산보다 먼저 나누는 식을 x-a 꼴로 확인하는 습관이 필요하다.
오답은 x-2에서 시작되지 않았다
다항식 P(x)=2x3-3x+5를 x-2로 나눌 때 한 학생은 나누는 식의 숫자 2를 보고 다음처럼 계산했다.
P(-2)=2(-2)3-3(-2)+5=-16+6+5=-5
하지만 x-2=x-a이므로 a=2이다. 따라서 나머지는 P(2)로 구해야 한다.
P(2)=2(2)3-3(2)+5=16-6+5=15이므로 나머지는 15이다. 이 학생은 계산 자체보다 x-a에서 a의 부호를 읽는 단계와, 그 값이 왜 대입되는지 답안에 연결하는 단계가 비어 있었다.
나머지정리의 의미를 식으로 붙잡기
다항식을 x-a로 나누면 나눗셈의 결과는
P(x)=(x-a)Q(x)+r
로 나타난다. 여기서 x=a를 대입하면 x-a=0이므로
P(a)=0·Q(a)+r=r
가 된다. 나머지가 P(a)인 이유는 숫자를 외워 넣기 때문이 아니라, 나누는 식을 0으로 만드는 값을 대입하면 몫을 포함한 항이 사라지기 때문이다.
풀이 줄에 남겨야 할 세 가지 연결
연습할 때는 바로 계산하지 않고 다음처럼 중간식을 기록한다.
- x-2=x-a에서 a=2
- 나머지 =P(2)
- P(2)=2(2)3-3(2)+5=15
이 기록이 있으면 답만 틀린 것이 아니라 어느 줄에서 판단이 바뀌었는지 확인할 수 있다. 반대로 x+4라면 x-(-4)로 고쳐 써서 a=-4임을 먼저 표시해야 한다. 나누는 식의 상수항을 그대로 대입하는 것이 아니라, x-a=0이 되는 값을 찾는 과정이다.
숫자를 바꾼 문제에서 절차가 유지되는가
같은 식을 다시 푸는 대신 다음 문제를 제시한다.
R(x)=x3-4x2+x+6을 x+3으로 나눌 때의 나머지를 구하여라.
먼저 학생이 x+3=x-(-3)을 적고 a=-3을 찾는지 본다. 이어서
R(-3)=(-3)3-4(-3)2+(-3)+6=-27-36-3+6=-60
을 계산하면 나머지는 -60이다. 중간식 없이 답만 제시했다면, 계산이 틀렸을 때 a를 잘못 정한 것인지 대입 과정에서 부호를 바꾼 것인지 구별하기 어렵다.
귀가 후 짧은 시간에 확인할 답안 기준
과제량이 많은 날에는 여러 문제를 무작정 풀기보다 나누는 식을 먼저 x-a로 바꾸어 적은 문제만 골라 확인한다. 다음 문제에서 교사의 질문 없이 a를 표시하고, P(a)를 만든 뒤, x=a에서 몫 항이 0이 된다는 근거까지 남긴다면 개념이 계산으로 이어졌는지 확인할 수 있다.
같은 강동구의 한영고등학교, 광문고등학교, 성덕고등학교는 참고 학교일 뿐 둔촌동 소재 학교로 단정할 수 없다. 학교 이름보다 실제 귀가 시각과 과제량에 맞춰 이 짧은 절차를 스스로 재현하는지가 학습 점검의 기준이 된다.