강일동고2수학과외: 밑이 1보다 작을 때 지수식의 대소 비교
강일동에서는 강일고등학교의 지필평가 범위와 수행평가 일정을 평일 귀가 시간에 맞춰 나누어 살펴볼 필요가 있다. 특히 지수와 지수법칙 단원에서는 계산보다 밑과 지수의 관계를 먼저 판단하는 풀이가 중요하다. 강일동 소재 학교는 강일고등학교이며, 한영고·광문고·동북고·성덕고등학교는 같은 강동구의 참고 학교로 구분해 보아야 한다.
지수 5가 커도 값이 작아지는 이유
오답표에는 다음과 같이 적혀 있었다.
잘못된 줄: \((\frac12)^3 < (\frac12)^5\) ＜
수정한 줄: \((\frac12)^3 > (\frac12)^5\) ＞
달라진 기호는 하나뿐이지만, 판단의 근거는 밑에 있다. \(0<\frac12<1\)인 밑은 지수가 커질수록 값이 작아진다. 실제로
\[ \left(\frac12\right)^3=\frac18,\qquad \left(\frac12\right)^5=\frac1{32} \]
이므로 \(\frac18>\frac1{32}\)이다. 지수 \(5\)가 \(3\)보다 크다는 사실만으로 지수식의 값까지 크다고 판단하면 안 된다.
계수와 부호가 붙어도 밑의 관계부터 확인하기
변형 문제에서는 다음 식을 비교하게 했다.
\[ -3\left(\frac13\right)^2 \quad\text{와}\quad -3\left(\frac13\right)^4 \]
\(0<\frac13<1\)이므로
\[ \left(\frac13\right)^2>\left(\frac13\right)^4 \]
이다. 그런데 양변에 음수 \(-3\)을 곱하면 부등호 방향이 바뀐다.
\[ -3\left(\frac13\right)^2 < -3\left(\frac13\right)^4 \]
따라서 풀이 순서는 지수만 비교하는 방식이 아니라, 먼저 \(0<a<1\)인지 확인하고, 계수의 부호가 부등호에 미치는 영향까지 이어서 판단해야 한다.
오답표를 기호 변화까지 보이게 고치기
같은 오류가 발견되면 답만 지우지 않고 잘못된 줄과 수정한 줄을 나란히 적는다.
잘못된 판단: \(5>3\)이므로 \((\frac12)^5>(\frac12)^3\)
바른 판단: \(0<\frac12<1,\ 5>3\)이므로 \((\frac12)^5<(\frac12)^3\)
이후 새로운 식을 풀 때 답안 첫 줄에 “밑이 \(0\)과 \(1\) 사이이므로 지수가 클수록 값이 작아진다”라고 직접 적는다. 계수가 음수라면 “음수를 곱하므로 부등호 방향이 바뀐다”도 이어서 기록한다.
새 밑에서 확인하는 한 줄 검증
마지막에는 교사의 질문 없이 다음 비교를 제시했다.
\[ 2^{-2} \quad\text{와}\quad 2^{-4} \]
답안에 먼저
\[ 2>1,\quad -2>-4 \quad\Rightarrow\quad 2^{-2}>2^{-4} \]
를 적고, 실제 값도 \(2^{-2}=\frac14,\ 2^{-4}=\frac1{16}\)으로 확인한다. 계수나 표현이 바뀌어도 밑의 범위와 부등호 방향을 스스로 적는지가 지수식 대소 비교를 제대로 연결했는지 판단하는 기준이다.