강일동고1수학과외: 다항식 항의 순서와 값이 같은 이유
강일고등학교 프린트에서 조건을 식으로 옮긴 뒤 곧바로 다음 계산으로 넘어가는 경우, 항을 왜 재배열할 수 있는지 설명하지 못한 채 형식만 따라가게 된다. 강일역과 강일4단지 생활권에서 귀가 후 확보한 짧은 시간에는 계산 결과뿐 아니라 식의 구조를 한 줄로 확인하는 연습이 필요하다.
순서가 달라져도 항의 합은 그대로인가
다항식 3x2 - 5x + 2 + 4x2 + x - 7을 동류항끼리 정리하면
(3x2 + 4x2) + (-5x + x) + (2 - 7) = 7x2 - 4x - 5
가 된다. 항의 순서를 바꾼 4x2 + x - 7 + 3x2 - 5x + 2도 같은 다항식이다. 덧셈에서는 항을 바꾸어 놓아도 합이 변하지 않는 교환법칙이 성립하고, 여러 항을 묶는 위치를 달리해도 결괏값이 변하지 않는 결합법칙이 성립하기 때문이다.
다항식의 항은 더해지는 항 또는 빼지는 항으로 이루어져 있으므로, 각 항의 부호를 함께 보존한다면 항의 배열만 바꾸어도 전체 값은 변하지 않는다.
학생 답안에서 빠진 한 줄
학생은 조건을 2x2 + 3x - 1 + x2 - 4x + 6으로 옮긴 뒤, 항을 재배열한 이유를 적지 않고 바로 3x2 - x + 5를 계산했다. 계산 결과는 맞지만, 원문의 항과 새 배열을 대조한 흔적이 없어 -4x의 부호가 실제로 보존되었는지 확인할 수 없다.
이때 항을 2x2 + x2, 3x - 4x, -1 + 6으로 나누어 적는다. 각 묶음은 원래 식에서 가져온 항이며, 순서만 바뀌었다. 따라서
2x2 + 3x - 1 + x2 - 4x + 6
＝ 2x2 + x2 + 3x - 4x - 1 + 6
＝ 3x2 - x + 5
처럼 원문과 재배열한 식을 나란히 비교해야 한다. 마이너스 기호는 항의 일부로 취급해야 하므로 -4x를 4x로 바꾸어 놓으면 단순한 순서 변경이 아니라 식 자체의 변경이다.
확인 항목을 풀이 안에 남기는 방법
- 원래 식의 항을 부호와 함께 끊어 읽는다.
- 재배열한 뒤 각 항이 빠지거나 새로 생기지 않았는지 대조한다.
- 왜 같은 값을 유지하는지 ‘덧셈의 교환법칙과 결합법칙’으로 짧게 설명한다.
- 그 다음에만 동류항의 계수를 계산한다.
예를 들어 -2a + 5 - 3a2 + 7a + 1은 -3a2 + (-2a + 7a) + (5 + 1)로 바꿀 수 있다. 여기서 확인 문장은 “항의 부호를 유지한 채 덧셈 항의 위치만 바꾸었으므로 값은 변하지 않는다”이다. 그러면 -3a2 + 5a + 6이라는 결과가 원래 식에서 나온 것임을 추적할 수 있다.
형식이 다른 문항에서 다시 추적하기
학교 자료와 배열이 다른 문제집에서 7y - 2y2 + 4 - 3y + 5y2 - 9를 제시하고, 항의 순서를 바꾸어 정리하게 한다. 학생이 -2y2 + 5y2 + 7y - 3y + 4 - 9로 옮긴 뒤 원래 식과 대조하고, “각 항의 부호는 그대로이고 위치만 바뀌었다”고 설명하는지 본다.
이후에는 학생이 스스로 동류항을 계산하여 3y2 + 4y - 5를 얻는지 확인한다. 배열이 달라져도 마주 보는 항이나 이웃한 항을 임의로 합치지 않고, 각 항의 부호와 차수를 추적한다면 새로운 형식에서도 같은 원리를 적용한 것으로 판단한다.