점화식의 극한은 첫 항보다 수렴 조건부터 확인한다
강일동에서 강일고등학교의 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려해 학습하던 고3 학생은 점화식 문제를 풀 때마다 이전 풀이의 숫자와 순서를 그대로 옮기는 습관이 있었다. 강일역과 강일4단지 생활권에서 이동하는 날에는 긴 계산보다 풀이 첫 줄에 조건을 정리하는 연습을 우선했다. 한영고등학교·광문고등학교 등 같은 강동구 내 참고 학교는 강일동 소재 학교와 구분해 보되, 학교별 범위는 각 일정에 맞춰 따로 확인했다.
극한값을 쓰기 전에 수렴 가능성을 판정하기
다음과 같이 새로 제시된 수열을 살펴보았다.
a1 = 1, an+1 = 2 - 3/an (n≥1)
학생은 이전 문제의 극한값이 1이었다는 이유로
an이 수렴한다고 가정하면 L = 2 - 3/L이므로 L2 - 2L + 3 = 0, 따라서 L = 1
이라고 적었다. 이 식은 두 가지 점에서 틀렸다. 먼저 L2 - 2L + 3 = 0의 판별식은 4-12=-8이므로 실수 극한값이 존재하지 않는다. 또한 복소수 근을 실수 수열의 극한처럼 사용할 수도 없다. 더 근본적으로는 극한을 대입하기 전에 수열이 실제로 수렴하는지 확인해야 한다.
틀린 줄에 표시한 뒤, 점화식의 분모 조건과 변환식을 다시 확인했다. 함수
f(x)=2-3/x
에 대해
f(x)-1 = 1-3/x = (x-3)/x
이므로 첫 항 a1=1에서 a2=-1, a3=5, a4=7/5가 된다. 항이 한 값으로 가까워진다고 단정할 수 없으므로 단순히 이전 극한값을 복사하면 안 된다. 실제로 고정점 방정식에 실수해가 없다는 사실은 수렴 가정과 모순된다. 따라서 이 문제의 실수 수열은 유한한 실수 극한을 갖지 않는다.
학생은 수정한 풀이 옆에 다음 검산표를 작성했다.
- 수렴 가정: L=2-3/L
- 정리: L2-2L+3=0
- 판별식: -8<0
- 결론: 실수 극한값 없음
- 확인: a1=1, a2=-1, a3=5로 이전 답 1을 대입하지 않음
계수가 바뀌면 범위와 경계값도 다시 정한다
같은 절차를 반복하는지 확인하기 위해 다음 문제를 새로 제시했다.
b1=4, bn+1 = 3 - 2/bn
이번에는 네모칸에 먼저 수렴 여부 → 고정점 → 허용 범위 → 실제 대입을 적었다. 고정점 L은
L=3-2/L
이므로
L2-3L+2=0
(L-1)(L-2)=0
이다. 두 후보 중 어느 값이 가능한지 확인하기 위해
bn+1-1 = 2-2/bn = 2(bn-1)/bn
를 사용했다. b1=4에서 b2=5/2, b3=11/5이고 모든 항이 2보다 크므로 bn-1은 양수이다. 또 bn>2이면
2 < 3-2/bn < 3
이므로 범위가 유지된다. 이 구간에서
|f'(x)|=2/x2<1/2
이므로 항들은 고정점 2로 수렴한다. 경계값 2를 직접 넣으면 f(2)=2이고, 실제 첫 항 4도 허용 범위 안에 있다. 따라서 이 문제의 결론은 lim bn=2이다. 계수와 초기항이 바뀌었으므로 앞 문제의 극한값을 재사용하지 않고 첫 줄부터 다시 판정한 것이 핵심이다.
이처럼 강일동 고3 수학과외 학습에서는 답을 먼저 기억하는 대신 점화식의 계수, 분모의 범위, 고정점의 실수 여부를 연결해 확인한다. 마지막에는 점화식을 직접 대입하고, 고정점 방정식과 수렴 구간을 서로 비교해 같은 결론이 나오는지 교차검증한다.