청담동고2수학과외

청담동고2수학과외, 지수의 크기는 지수 숫자만으로 결정되지 않는다

영동고등학교와 청담삼익아파트·청담자이아파트 주변에서 학교와 귀가 거리가 다른 만큼, 풀이를 확인하는 시간도 학생마다 다를 수 있다. 그러나 지수식의 대소 비교에서는 풀이 시간보다 먼저 밑의 범위와 지수 사이의 관계가 답안에 남아야 한다.

(1/2)3과 (1/2)5를 비교한 흔적

다음 비교에서 학생은 “지수 5가 3보다 크므로 (1/2)5가 더 크다”라고 적었다.

(1/2)3 < (1/2)5

하지만 실제 값은 (1/2)3=1/8, (1/2)5=1/32이므로

(1/2)3 > (1/2)5

이다. 밑이 0<a<1인 지수함수 ax는 감소하므로 지수가 커질수록 값은 작아진다. 반대로 a>1이면 지수가 커질수록 값도 커진다.

밑의 범위를 적어야 비교가 성립한다

실수 지수에서 일반적으로 밑은 a>0이어야 한다. 두 지수 m,n에 대해 다음처럼 밑을 먼저 나누어 판단한다.

• a>1이고 m>n이면 am>an
• 0<a<1이고 m>n이면 am<an
• a=1이면 두 값은 모두 1

따라서 답안에는 “지수 5가 더 크다”만 남기지 않고, “밑 1/2는 0과 1 사이이므로 지수가 커질수록 값이 감소한다”라고 써야 한다.

대입으로 감소 관계를 확인하고 식을 보존하기

잘못된 판단을 고칠 때는 밑을 간단한 수로 대입해 변화 방향을 직접 확인한다.

(1/2)1=1/2, (1/2)2=1/4, (1/2)3=1/8

지수가 1, 2, 3으로 커질 때 값이 1/2, 1/4, 1/8로 작아진다. 이 확인 뒤에는 원래 비교식을 임의로 뒤집어 쓰지 말고 다음처럼 그대로 연결한다.

3<5, 0<1/2<1 이므로 (1/2)3>(1/2)5

새 밑에서는 조건을 먼저 세우는가

다음 문제를 별도의 풀이로 판단한다.

문제: (3/2)2x+1과 (3/2)x+4의 대소를 비교하여라.

3/2>1이므로 지수의 대소가 그대로 값의 대소에 반영된다. 두 지수를 비교하면

2x+1-(x+4)=x-3

따라서 x>3이면 (3/2)2x+1>(3/2)x+4, x=3이면 두 값이 같고, x<3이면 첫 번째 식이 작다.

이번에는 밑이 1보다 크다는 조건을 먼저 적고, 지수 차이 x-3의 부호를 확인했는지가 풀이의 기준이다.