청담동고3수학과외

청담동 고3수학과외: 점화식 수열의 극한을 판단하는 과정

청담동에서 영동고등학교를 다니는 학생은 청담자이아파트에서 학교와 학원 이동 시간을 조정하며 공부하고 있었다. 같은 강남구의 청담고등학교나 숙명여자고등학교 등이 생활권 참고 대상이 될 수 있지만, 학교와 주거지의 거리에 따라 확보되는 자습 시간이 달라질 수 있어 풀이 점검은 학생의 실제 학습 리듬에 맞춰 진행했다.

극한값을 먼저 추측한 풀이의 문제

학생이 푼 문제는 다음과 같았다.

수열 {a_n}이 a₁=8,

a_n+1 = (a_n+2)/2

로 정의될 때 lim_n→∞a_n을 구하여라.

학생은 계산 중 다음과 같이 적었다.

오답: a_n+1=(a_n+2)/2이므로 극한을 L이라 하면 L=(L+2)/2, 따라서 L=2이다.

결과값 2는 맞지만, 이 식만으로는 수열이 실제로 수렴한다는 사실을 확인하지 못한다. 점화식에 극한을 대입하려면 먼저 수렴 가능성을 보여야 하며, 초기항 8에서 시작해 항들이 어떤 범위에 놓이는지도 확인해야 한다. 수렴하지 않는 수열이라면 형식적으로 얻은 고정점이 극한값이 될 수 없다.

다음 항과의 차이로 수렴 조건 확인하기

틀린 줄에 표시한 뒤 학생은 고정점 2와의 차이를 변수로 두었다.

a_n+1-2 = (a_n+2)/2-2 = (a_n-2)/2.

초기항이 a₁=8이므로 a₁-2=6이다. 따라서

a_n-2 = 6·(1/2)^n-1,

즉 a_n=2+6·(1/2)^n-1이다. 0<1/2<1이므로

lim_n→∞6·(1/2)^n-1=0,

따라서 lim_n→∞a_n=2이다.

또한 a_n-2>0이므로 모든 항은 2보다 크고, 차이가 매번 절반으로 줄어든다. 실제 항도 a₂=5, a₃=7/2, a₄=11/4로 계산되어 2에 가까워지는지 확인했다. 마지막으로 일반항에 n=1을 대입하면 2+6=8이 되어 초기항과도 일치한다.

초기항과 부호를 바꾼 독립 검증

같은 풀이를 반복하지 않도록 초기항과 고정점까지 바꾼 문제를 새로 제시했다.

b₁=-7, b_n+1=(b_n+4)/2일 때 lim_n→∞b_n을 구하여라.

고정점 L은 L=(L+4)/2에서 L=4이다. 변수 관계를 확인하면

b_n+1-4=(b_n-4)/2.

b₁-4=-11이므로 b_n=4-11·(1/2)^n-1이다. 따라서 극한은 4이고, 모든 항이 4보다 작으며 음의 차이가 절댓값 기준으로 절반씩 줄어든다. b₂=-3, b₃=1/2도 일반식과 일치하므로 초기항과 부호를 바꾼 경우에도 고정점, 수렴비, 범위를 순서대로 확인해야 한다는 점을 검증했다.