청담동고1수학과외, 정리한 식을 원래 항으로 되돌려 검산하기
청담동에서 영동고등학교까지의 이동 시간, 청담삼익아파트나 청담자이아파트에서 학교 프린트를 펼치는 시점은 학생마다 다르다. 그러나 짧은 복습 시간에도 식을 정리한 뒤 원래 항으로 되돌려 보는 과정은 생략하지 않아야 한다. 이 과정은 새 공식을 찾는 일이 아니라, 계산 중 항이 빠지거나 부호가 바뀌었는지 확인하는 algebra적 검산이다.
정리된 식만 남기고 원래 항을 확인하지 않은 답안
다음 식을 정리해 보자.
(2x-3)(x+4)+(x-2)2
정확한 전개는 다음과 같다.
(2x-3)(x+4)=2x2+5x-12
(x-2)2=x2-4x+4
따라서 전체 식은
2x2+5x-12+x2-4x+4=3x2+x-8
그런데 답안에는 3x2+5x-8이 적혀 있었다. 첫 번째 곱에서 나온 5x를 그대로 두고, 두 번째 제곱식의 -4x를 합치지 않은 것이다. 학생은 이 식을 보고 원래 식과 비교하지 않고, 항을 묶는 새로운 공식을 찾으려 했다.
검산은 결과를 다시 원래 항별로 펼치는 작업이다
정리된 답 3x2+x-8을 얻었다면 원래 두 묶음과 대응시킨다.
- 첫 번째 묶음: 2x2+5x-12
- 두 번째 묶음: x2-4x+4
- x2항: 2+1=3
- x항: 5-4=1
- 상수항: -12+4=-8
이처럼 3x2+x-8을 원래 항별로 분해해 보면 세 종류의 항이 모두 어디에서 왔는지 확인할 수 있다. 반대로 잘못된 답 3x2+5x-8은 x항의 -4x가 사라져 원래 두 번째 항과 대응하지 않는다.
빠진 줄부터 다시 쓰는 오답 수정
답안에 검산 표시가 없고 바로 다음 계산으로 넘어갔다면, 전체 풀이를 처음부터 베끼지 않는다. 오답표에서 누락된 위치를 표시한 뒤 그 줄부터 다시 쓴다.
누락된 줄: (x-2)2=x2-4x+4
그 다음 두 묶음을 나란히 적는다.
(2x2+5x-12)+(x2-4x+4)
=(2+1)x2+(5-4)x+(-12+4)
=3x2+x-8
이 사례의 오류는 개념 전체를 모르는 문제라기보다, 정리한 결과를 원래 항으로 되돌려 누락 여부를 확인하지 않은 표현·검산 단계의 오류로 구분할 수 있다.
표현이 바뀐 문제에서도 같은 관계를 찾기
수행평가 자료가 다음과 같이 지필형 문제로 바뀌었다고 하자.
식 (3a+2)(a-5)+(a+1)2을 정리하고, 전개 과정에서 빠진 항이 없는지 확인하시오.
먼저 각각의 원래 항을 분해한다.
(3a+2)(a-5)=3a2-13a-10
(a+1)2=a2+2a+1
따라서
3a2-13a-10+a2+2a+1=4a2-11a-9
학생이 4a2-13a-9라고 썼다면, 두 번째 제곱식에서 나온 2a를 빠뜨린 것이다. 답의 모양이 달라졌어도 ‘각 원래 묶음에서 나온 항을 다시 대조한다’는 행동을 스스로 수행하는지 확인한다. 복습을 끝낼 시점도 정답만 맞힌 순간이 아니라, 항별 대조 표시까지 마친 뒤 학생이 직접 결정하게 한다.