역삼동고2수학과외

역삼동고2수학과외, 밑이 다를 때 지수법칙을 멈춰 세우는 판단

진선여자고등학교의 학교 프린트와 지필평가 범위를 정리하던 중, 풀이 한 줄에서 계산보다 먼저 확인해야 할 기준이 드러났다. 문제는 2³·4²였고, 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.

2³·4² = 8⁵

이 식은 밑 2와 밑 4를 그대로 곱해 8로 만든 뒤 지수 3과 2를 더한 것이다. 그러나 지수의 덧셈 법칙

a^m·aⁿ = a^m+n

은 두 항의 밑이 처음부터 같을 때만 사용할 수 있다. 2와 4는 같은 밑이 아니므로, 먼저 4를 2의 거듭제곱으로 바꾸어야 한다.

2³과 4²의 밑을 맞추는 과정

4=2²이므로

2³·4² =2³·(2²)² =2³·2⁴ =2⁷ =128

반면 8⁵=32768이므로 두 식은 전혀 같은 값이 아니다. 이 장면에서는 지수 계산을 못한 것이 아니라, 어떤 법칙을 적용할 수 있는지 판별하는 단계가 생략된 것이 문제였다. 특히 밑이 다른 식을 보자마자 지수를 더하는 방식은 계수와 밑이 바뀐 변형 문제에서 다시 나타났다.

지수법칙을 쓰기 전 답안에 남길 두 가지

다음 식을 계산할 때는 법칙을 바로 적용하지 않고 밑과 지수의 관계를 짧게 표시한다.

3²·9³

1. 밑 확인: 3과 9는 다르다.
2. 밑 통일: 9=3².
3. 지수 계산: 3²·(3²)³=3²·3⁶=3⁸.

여기서 (a^m)ⁿ=a^mn을 사용해 2와 3을 곱해야 한다. 밑이 같은 항의 곱에서는 지수를 더하고, 거듭제곱의 거듭제곱에서는 지수를 곱한다는 구분을 답안에 남기는 것이 핵심이다. 밑은 실수 범위에서 지수법칙을 다룰 때 보통 양수로 두며, 특히 분수 지수나 음의 지수가 포함되면 정의 가능 여부도 함께 확인해야 한다.

오류가 시작된 줄에서 이어서 고치는 연습

처음부터 전 풀이를 다시 베끼지 않고, 잘못된 등호가 생긴 위치에 표시를 한다.

2³·4² → 밑이 다르므로 지수 덧셈 불가

그다음 바로 다음 줄을 이어 쓴다.

2³·4² =2³·(2²)² =2⁷

이 방식은 역삼동성당과 대림역삼아파트 주변에서 학교 귀가 후 짧은 시간에 학교별 프린트의 변형식을 점검할 때도 풀이의 핵심 위치를 빠르게 확인하게 한다. 숫자를 다시 계산하는 것보다, 오류가 시작된 등호에서 밑을 통일했는지를 확인하는 방식이다.

표의 기준을 식으로 옮기는 최종 확인

마지막에는 식만 주지 않고 다음 표를 제시해 기준을 옮겨 적게 한다.

예를 들어 두 번째 행에서 8²를 2⁶으로 바꾸지 않고 2³을 먼저 적어야 한다. 표의 ‘처음 밑’과 ‘통일한 뒤’를 식에 정확히 옮긴 뒤에만 지수를 더한다. 이렇게 계수와 밑이 달라진 조건에서도 밑 통일 여부와 지수 연산을 분리해 기록하는지 확인한다.