역삼동 고3수학과외: 절댓값 수열에서 수렴 조건 가르기
진선여자고등학교를 비롯해 역삼동에서 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려하다 보면 짧은 시간 안에 수열의 첫 판단을 정확히 세우는 연습이 중요하다. 이 학생은 문제를 보자마자 계산을 시작하기보다 절댓값 안의 식이 실제로 어떤 값을 만드는지 확인하는 단계가 필요했다.
부호가 사라진 뒤의 수열을 먼저 확인하기
문제의 수열이
an = |(-1)n|
일 때, 학생은 다음처럼 해석했다.
an = (-1)n이므로 항은 1, -1, 1, -1, …로 번갈아 나온다.
이 식은 틀렸다. 절댓값은 음수를 양수로 바꾸므로
|(-1)n| = 1
이 모든 자연수 n에 대해 성립한다. 실제 초기항을 대입하면
a1 = |-1| = 1, a2 = |1| = 1, a3 = |-1| = 1
이므로 수열은 1, 1, 1, …이다. 따라서
limn→∞an = 1
이고 수렴한다. 부호가 번갈아 바뀌는 것은 절댓값을 취하기 전의 식이며, 절댓값을 취한 뒤에는 그 변화가 사라진다.
오답 줄을 표시하고 원식과 대조하기
학생은 오답 줄에 밑줄을 그은 뒤, 절댓값 기호를 없애면서 내부 식을 그대로 둔 것이 문제임을 확인했다. 절댓값은 단순히 기호를 삭제하는 연산이 아니라, 내부 값의 부호에 따라 값을 바꾸는 연산이다.
이번 식에서는 (-1)n의 값이 1 또는 -1이지만 두 경우 모두 절댓값을 취하면 1이다. 수정한 식은
an = |(-1)n| = 1
이다. n=4를 대입해도 |1|=1이고, n=5를 대입해도 |-1|=1이므로 수정된 일반식과 일치한다. 그래프나 항의 나열에서도 모든 항이 1에 놓이므로 수렴값 1을 다시 확인할 수 있다.
수렴과 발산 방향을 구분하는 새 검증
같은 오류가 다른 식에서도 반복되는지 확인하기 위해 다음 문제를 새로 풀었다.
bn = |2(-1)n + 1|
짝수 n에서는 2(-1)n+1=3이고, 홀수 n에서는 2(-1)n+1=-1이다. 따라서
b2k = 3, b2k-1 = 1
이다. 절댓값을 취한 뒤에도 두 부분수열의 값이 다르므로 bn은 하나의 극한으로 모이지 않는다. 즉, 발산한다.
학생은 처음 네 항을 직접 계산해
1, 3, 1, 3, …
으로 확인한 뒤, 짝수항과 홀수항의 극한이 각각 3과 1로 다르다는 방식으로 결론을 검산했다. 절댓값이 모든 부호 변화를 없애는 것은 아니며, 절댓값을 취한 뒤에도 값이 달라지는지 확인해야 한다는 점까지 구분한 것이다.