역삼동고1수학과외, 치환한 문자를 원래 식으로 되돌리는 법
역삼동에서 학교 프린트와 교과서 문제를 함께 정리할 때, 치환은 계산을 짧게 만드는 기술이지만 마지막에 원래 문자로 돌아오지 않으면 답이 완성되지 않는다. 특히 식의 일부를 묶어 새 문자로 바꿀 때에는 새 문자와 원래 문자의 대응 관계를 풀이 중에 계속 유지해야 한다.
t의 값에서 멈춘 풀이
예를 들어 다음 방정식을 풀어 보자.
x4 - 7x2 + 10 = 0
x2이 반복되므로 t = x2라고 치환하면
t2 - 7t + 10 = 0
이 식은
(t - 5)(t - 2) = 0
이므로 t = 5 또는 t = 2이다. 그런데 실제 학생의 답안에는 여기서 풀이가 끝나고 답이 “t = 5, 2”로 적혀 있었다. t는 문제에서 요구한 원래 변수 x가 아니라 치환을 위해 새로 만든 문자이므로 최종 답이 될 수 없다.
치환식은 풀이 여백에 남겨 둔다
처음부터 다음 대응을 적어 두면 되돌리는 단계를 놓치기 어렵다.
t = x2
t = 5일 때에는 x2 = 5이므로 x = ±√5이다. t = 2일 때에는 x2 = 2이므로 x = ±√2이다. 따라서 원래 방정식의 해는
x = ±√5, ±√2
이다. x2 = t에서 x를 구할 때 제곱근의 두 부호를 함께 고려해야 하므로, t의 양의 해만 보고 x를 하나씩만 쓰면 안 된다.
치환 전: x4 - 7x2 + 10 = 0
치환: t = x2
치환 후: t2 - 7t + 10 = 0
되돌리기: t = 5, 2 → x = ±√5, ±√2
원래 다항식의 구조를 확인하는 짧은 검산
치환 뒤에는 t의 해만 계산하지 말고, t가 무엇을 뜻하는지 한 줄로 다시 확인한다. 이 문제에서 t는 x2이므로 t의 해가 5와 2라는 사실은 x2의 값이 5와 2라는 뜻이다. 따라서 x에 대해 각각 두 값을 만들 수 있다.
실제로 x = √5를 원래 식에 넣으면 x2 = 5, x4 = 25이므로 25 - 35 + 10 = 0이다. x = √2를 넣으면 x2 = 2, x4 = 4이므로 4 - 14 + 10 = 0이다. 음의 제곱근도 제곱값이 같으므로 함께 성립한다.
수치가 바뀐 문제에서 대응 관계를 유지하는지 확인하기
훈련 문제는 같은 식을 곧바로 반복하지 않고 다음처럼 바꾼다.
x4 - 9x2 + 14 = 0
이번에도 t = x2로 두면
t2 - 9t + 14 = (t - 7)(t - 2) = 0
이므로 t = 7 또는 t = 2이다. 여기서 반드시 x2 = 7, x2 = 2로 바꾸어 x = ±√7, ±√2를 얻어야 한다. 숫자가 달라져도 ‘치환식 기록 → 새 식 풀이 → 원래 문자로 복귀’의 순서를 유지하는지가 확인할 지점이다.
문장 속 숫자를 모두 식에 넣지 않는 연습
역삼동의 평일 귀가 후 짧은 학습 시간에는 다음과 같이 정보를 섞어 제시한 문항으로 마무리할 수 있다.
“어떤 수 x의 네제곱에서 x의 제곱의 9배를 뺀 뒤 14를 더하면 0이 된다. 풀이를 시작하기 전 25분 동안 개념을 정리했고, 문제에는 참고 숫자 3도 함께 제시되어 있다. x의 값을 구하여라.”
이때 학습 시간이나 참고 숫자 3은 방정식의 해를 구하는 데 필요한 수량 관계가 아니다. 필요한 관계만 골라 x4 - 9x2 + 14 = 0을 만들고, t = x2를 적은 뒤 원래 문자로 돌아가야 한다. 새 조건에서도 t값만 답란에 남기지 않는다면 치환의 구조를 실제 문제에 적용하고 있는 것이다.