압구정동중2수학과외, 그래프 눈대중 대신 여사건으로 확률 문장 완성하기
압구정동에서 중2 수학을 공부하는 학생들은 문제집을 펼치는 시간만으로 학습량을 판단하기 어렵다. 압구정중학교와 신사중학교처럼 지역 안의 학교를 다니더라도 주거지에서 학교까지의 이동 거리, 압구정로데오와 한류스타거리 주변 활동, 학원 이동 여부에 따라 평일에 문제를 풀 수 있는 시간이 달라진다. 같은 강남구의 개원중학교·개포중학교·구룡중학교는 참고 학교일 뿐 압구정동 소재 학교로 구분해서 보아야 한다.
먼저 고정할 것은 ‘반대 사건’의 문장이다
이번 학습의 중심은 확률에서 사건과 여사건을 정확히 정의하는 일이다. 학생이 주간 학습 계획에서 ‘이번 주에 수학 프린트를 끝내지 못하는 사건’을 구하려 한다면, 그 반대 사건은 ‘이번 주에 수학 프린트를 끝내는 사건’이다. ‘공부를 열심히 하는 것’, ‘문제를 많이 푸는 것’처럼 범위가 불분명한 표현은 여사건이 될 수 없다.
사건을 A라고 할 때 A가 ‘프린트를 끝내지 못함’이면 여사건은 ‘프린트를 끝냄’이다. 두 사건이 전체 경우를 빠짐없이 나누고 서로 동시에 일어나지 않아야 하므로
어떤 학생이 정해진 기간 안에 프린트를 끝내지 못할 확률 = 1 - 정해진 기간 안에 프린트를 끝낼 확률
처럼 문장과 식을 함께 써야 한다. 여사건을 구하는 문제에서 중요한 것은 숫자를 먼저 계산하는 것이 아니라, 기준 기간과 완료 조건을 고정하는 것이다.
눈대중 판단이 오답으로 이어지는 순간
수업 중 한 학생은 주간 기록표를 보고 월요일부터 금요일까지 공부한 날을 세었다. 월·화·목에 공부했으므로 ‘완료할 확률은 3/5, 미완료할 확률은 2/5’라고 적었다. 하지만 문제의 조건은 하루 공부 여부가 아니라 ‘금요일까지 수학 프린트 20문항을 모두 제출했는가’였다. 수요일에 몰아서 8문항을 풀고 금요일에 남은 문제를 끝냈다면, 공부한 날짜 수와 완료 여부는 같은 사건이 아니다.
다른 문항에서는 표에 ‘완료’, ‘미완료’가 섞여 있었는데 학생이 표시 위치를 눈으로 대충 세다가 완료 6개를 5개로 읽었다. 또 ‘적어도 한 번 성공’의 여사건을 ‘한 번 성공하지 못함’이라고 썼지만, 이는 전체 시도에서 성공 횟수가 0회라는 뜻으로 분명히 적어야 했다. 이 오답은 단순 계산 실수가 아니라 사건의 기준을 바꾼 오류, 여사건의 범위를 좁게 잡은 오류, 표의 항목을 누락한 오류로 나누어 기록했다.
풀이 전에 표시하는 세 줄
- 전체 경우가 무엇인지 원 안에 적는다. 예: 월요일부터 금요일까지의 제출 결과 전체.
- 사건 A를 한 문장으로 쓴다. 예: 금요일까지 20문항을 모두 제출한다.
- 여사건 Aᶜ를 반대 문장으로 쓴다. 예: 금요일까지 20문항을 모두 제출하지 못한다.
그 다음 표의 각 결과에 완료 여부를 표시한다. ‘완료하지 못함’에는 0문항부터 19문항까지가 포함되고, ‘완료함’에는 20문항을 끝낸 경우만 포함된다는 점을 확인한다. 전체 경우가 같은 기준으로 정리되었다면 P(Aᶜ)=1-P(A)를 적용한다.
학생이 그래프 자료를 함께 보고 눈대중으로 비율을 읽으려 할 때는 먼저 가로축과 세로축의 의미를 문장으로 옮기게 한다. 그래프의 기울기나 절편을 짐작해 확률을 정하는 것이 아니라, 그래프가 나타내는 표본과 사건의 개수를 확인해야 한다. 그래프가 ‘요일별 공부 시간’을 나타낸다면 그것만으로 ‘프린트 완료 확률’을 정할 수 없다. 두 자료가 무엇을 측정하는지 다르면 임의로 연결하지 않는다.
압구정동 학생의 실제 훈련 기록
학교와 집, 보충수업 장소 사이의 이동이 긴 학생에게는 한 주의 모든 날을 같은 조건으로 보지 않았다. 월·수는 이동 후 30분, 화·목은 60분, 금요일은 학교 과제 확인 시간으로 나누고, 사건의 기준을 ‘금요일 밤까지 지정 문항 12개 제출’로 정했다. 학생은 매일 공부했는지를 표시하는 대신 제출한 문항 수를 기록했다.
처음에는 5일 중 공부한 날이 4일이므로 완료 확률을 4/5라고 썼다. 이후 표에 월요일 3개, 화요일 2개, 수요일 4개, 목요일 1개, 금요일 2개를 적고 합계가 12개임을 확인했다. 이 자료에서 이번 주 결과는 ‘완료’이고, 같은 조건의 여러 주 기록을 모아 완료한 주의 수와 전체 주의 수를 세어 확률을 구하도록 바꾸었다. 사건의 기준이 날짜가 아니라 제출 결과라는 점이 핵심이었다.
새 조건으로 독립 확인하기
다음 날에는 숫자와 기간을 바꾼 문제를 제시했다. ‘월요일부터 목요일까지 16문항 중 14문항 이상 제출’을 사건 A로 정하고, 여사건을 ‘13문항 이하 제출’이라고 쓰게 했다. 학생은 처음에 ‘끝내지 못함’이라고만 적었지만, 14문항 이상이라는 조건의 반대가 13문항 이하임을 수직선에 표시한 뒤 문장을 고쳤다.
이어서 표 대신 막대그래프를 주고, 전체 8주 중 조건을 만족한 주가 5주일 때 P(A)=5/8, P(Aᶜ)=3/8임을 계산하게 했다. 그래프의 세로축 간격을 바꾸고, 사건을 ‘10문항 이상’에서 ‘12문항 이상’으로 바꾼 새 문제도 풀었다. 마지막에는 4분 안에 사건·여사건·전체 경우·확률식을 모두 쓰게 했다. 같은 표를 다시 맞힌 것이 아니라 조건, 자료 표현, 시간 제한을 바꾼 독립 검증이다.
압구정동중2수학과외에서 남기는 오답 기록
과외에서는 정답만 표시하지 않고 오답 원인을 네 칸으로 나눈다. 사건을 잘못 정한 경우는 개념 오류, 반대 조건을 빠뜨린 경우는 조건 누락, 그래프의 항목을 잘못 센 경우는 자료 해석 오류, 분수 계산만 틀린 경우는 계산 오류로 구분한다. 맞힌 문제도 풀이 시간이 4분을 넘으면 다시 확인 대상으로 남긴다.
- 사건 문장을 먼저 말할 수 있는가?
- 여사건이 전체 경우를 빠짐없이 포함하는가?
- 그래프의 축과 표본 수를 확인했는가?
- 새 숫자와 새 조건에서도 1에서 여사건의 확률을 뺄 수 있는가?
자주 묻는 질문
Q. 여사건은 무조건 ‘실패’인가요?
아니다. 사건이 ‘10문항 이상 제출’이면 여사건은 ‘9문항 이하 제출’이다. 문제의 기준에 따라 반대 조건을 정확히 써야 한다.
Q. 그래프에서 비율이 보이면 바로 확률로 읽어도 되나요?
그래프가 무엇을 전체로 삼는지, 사건의 조건과 같은 자료인지 확인해야 한다. 공부 시간 그래프와 제출 완료 사건은 자동으로 같은 확률이 되지 않는다.
Q. 압구정동중2수학과외에서는 매일 많은 문제를 풀어야 하나요?
이 주제에서는 문제 수보다 사건 문장, 전체 경우, 여사건 조건을 직접 표시하고 새 자료에서 다시 적용하는 훈련을 우선한다.