압구정동중3수학과외, 변형 문제에서 무리수와 유리수 다시 구분하기
학생은 다음 두 수를 보고 곧바로 “둘 다 무리수예요”라고 말했다.
√12, 0.121221222122221…
첫 번째 판단은 그대로 받아들이기 어렵다. √12는 √(4×3)=2√3으로 정리되며, √3이 무리수이므로 2√3도 무리수다. 반면 두 번째 수는 소수점 아래 숫자가 일정한 규칙으로 계속 이어지지만, 순환마디가 고정되어 반복되는 순환소수는 아니다. 따라서 유리수인지 무리수인지 판단할 때는 ‘소수가 길게 이어지는가’가 아니라 ‘유한소수 또는 순환소수로 나타낼 수 있는가’를 확인해야 한다.
√ 안의 수만 보고 판단하면 생기는 오류
학생의 풀이 노트에는 다음과 같은 문장이 적혀 있었다.
√49는 근호가 있으므로 무리수이다.
이 설명은 근호의 모양과 수의 성질을 혼동한 경우다. √49=7이고, 7은 정수이면서 유리수다. √18은 √(9×2)=3√2로 바뀌고 √2가 무리수이므로 무리수다. 같은 제곱근 기호가 있어도 근호 안의 수가 완전제곱수인지에 따라 결과가 달라진다.
따라서 학생에게 먼저 √ 안의 수를 소인수분해하거나 제곱인수로 묶게 했다. √72를 만났을 때도 “72는 완전제곱수가 아니니까 무리수”라고 끝내지 않고, 72=36×2이므로 √72=6√2라고 적게 한다. 이때 √2가 유리수가 될 수 없는 이유까지 말해야 판단이 완성된다. 단순히 답 옆에 무리수라고 표시하는 것보다, 제곱근을 가장 간단한 형태로 바꾼 뒤 남은 근호를 확인하는 과정이 중요하다.
유한소수와 순환소수를 구별하는 실제 기준
분수 문제에서는 소수로 바꾸기 전에 분모의 형태를 확인하는 편이 빠를 때가 있다. 기약분수의 분모가 2와 5만을 소인수로 가지면 유한소수로 나타낼 수 있고, 그 밖의 소인수가 남으면 순환소수가 된다. 예를 들어 7/40은 분모가 40=2³×5이므로 유한소수이고, 5/12는 12=2²×3에서 3이 남으므로 순환소수다. 두 수 모두 정수의 비로 표현되므로 유리수다.
학생은 처음에 0.333…을 “끝나지 않으니 무리수”라고 썼다. 이 수는 1/3으로 나타낼 수 있는 순환소수이므로 유리수다. 반대로 0.101001000100001…처럼 반복 간격이 계속 달라지는 소수는 주어진 규칙만으로 고정된 순환마디를 만들 수 없으므로 무리수로 판단한다. 여기서도 소수 자릿수가 무한히 많다는 사실만으로 결론을 내리지 않고, 유리수의 표현인 정수의 비 또는 유한·순환소수인지 확인해야 한다.
두 표현이 달라 보여도 같은 수인지 확인하기
변형 문제에서는 수의 표현을 바꾸어 제시했다.
√50과 5√2 중 무리수를 고르시오.
학생은 둘을 서로 다른 보기로 생각했지만, √50=√(25×2)=5√2이므로 같은 수다. 둘 다 무리수이며, 하나만 선택하는 문제가 되려면 보기의 조건이 달라야 한다. 반대로 √50+√8은 단일한 두 무리수의 나열이 아니라 계산해야 하는 식이다.
√50+√8=5√2+2√2=7√2이므로 결과는 무리수다. 학생이 √50과 √8을 각각 무리수라고 판단한 뒤 덧셈 결과도 무조건 무리수라고 쓰면 충분하지 않다. 같은 근호끼리 정리한 후 결과가 0이 되는지, 또는 유리수가 되는 형태인지 살펴야 한다. 예를 들어 √2-√2=0은 유리수다. 무리수끼리 계산한다고 해서 언제나 무리수가 되는 것은 아니다.
압구정동의 생활 리듬에 맞춘 풀이 기록
압구정동에는 신사중학교와 압구정중학교가 있고, 같은 강남구의 개원중학교·개포중학교·구룡중학교는 참고할 수 있는 학교다. 이 학교들을 압구정동 소재 학교로 혼동하지 않도록 구분해 기록했다. 압구정로데오와 한류스타거리처럼 생활 동선이 형성된 지역이라도 실제 이동 거리와 귀가 시각은 학생마다 다를 수 있다.
그래서 긴 문제를 한꺼번에 풀게 하기보다, 이동 전에는 분수의 유리수 판별 두 문항을 처리하고 귀가 후에는 제곱근 변형 한 문항을 풀이하게 했다. 중요한 것은 공부 시간의 길이를 동일하게 정하는 것이 아니라, 학생이 어느 시점에 풀이를 멈췄는지 확인하는 일이다. 짧은 시간에 풀더라도 “근호가 있다”에서 멈추지 않고 완전제곱수 분리, 기약분수 확인, 계산 후 재판단까지 남기면 학습 과정을 추적할 수 있다.
정답을 외웠는지 확인하지 않는 새 조건
다음 문제에서는 숫자와 표현을 바꾸었다.
다음 중 유리수를 모두 고르시오.
① √81 ② √27 ③ 0.272727… ④ 0.101001000100001… ⑤ √2-√2
학생은 먼저 ①을 9로 바꾸고, ③을 3/11로 생각하여 유리수로 표시했다. ④는 고정된 순환마디가 없는 무한소수이므로 무리수로 분류했다. ⑤는 두 항을 계산해 0이 되므로 유리수라고 설명했다. ②는 √27=3√3이므로 무리수다.
이번에는 “√125+√20”을 제시했다. 학생이 √125와 √20을 각각 무리수라고만 말하지 않고, 5√5+2√5=7√5로 정리한 뒤 무리수라고 근거를 붙이는지 확인했다. 숫자가 달라져도 첫 행동이 ‘근호 안에서 제곱인수를 찾기’로 유지되는지, 소수의 모양이 바뀌어도 ‘유한·순환 여부’를 따지는지 살펴보는 방식이다. 이 과정을 도움 없이 수행할 때 무리수와 유리수의 구분이 특정 예제의 기억이 아니라 변형된 조건에서도 작동한다고 볼 수 있다.