삼성동고2수학과외

삼성동 고2수학과외, 지수의 곱셈에서 계산보다 먼저 볼 것

삼성중앙역과 삼성사원아파트 생활권에서 경기고등학교 방과후 이동을 마친 뒤 확보한 자습 시간에는 풀이를 길게 늘리기보다, 식의 조건과 지수의 관계를 한 줄씩 확인하는 연습이 필요하다. 삼성동 소재 고등학교로 확인되는 곳은 경기고등학교이며, 숙명여고·단대부고·경기여고·중산고는 같은 강남구의 참고 학교로 구분해야 한다.

2³·2⁴를 2¹²로 쓴 순간

여백에 다음과 같은 풀이가 남아 있었다.

2³·2⁴ = 2^3×4 = 2¹²

이 계산은 같은 밑의 곱셈 법칙을 거꾸로 적용한 것이다. 곱셈에서는 지수를 곱하지 않고 더해야 하므로

2³·2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷ = 128

이다. 지수를 곱하는 관계는 (a^m)ⁿ = a^mn처럼 거듭제곱 전체를 다시 거듭제곱할 때 나타난다. 두 법칙을 식의 모양으로 구별해야 한다.

밑과 지수의 범위를 식 앞에 세우기

실수 범위에서 지수법칙을 적용할 때는 밑이 양수인 경우를 기준으로 확인한다.

a > 0일 때

a^m·aⁿ = a^m+n,　a^m÷aⁿ = a^m−n

이다. 나눗셈에서는 분모가 0이 아니어야 하므로 aⁿ ≠ 0도 확인한다. 예를 들어

3⁵÷3² = 3⁵⁻² = 3³ = 27

이며, 지수를 먼저 계산해 5−2를 만든 뒤 값을 구한다. 풀이 첫 줄에 밑: 3>0, 곱셈/나눗셈: 같은 밑을 적으면 계산 순서가 바뀐다.

곱셈·나눗셈을 분리해 다시 계산하는 훈련

오답이 나온 줄은 지우지 않고 다음처럼 남긴다.

오답: 2³·2⁴ = 2¹²
누락 조건: 같은 밑이므로 지수의 합
수정: 2³⁺⁴ = 2⁷

이후 다음 식에서는 곱셈과 나눗셈을 한 줄에 섞지 않고 각각 표시한다.

5²·5³÷5⁴
= 5²⁺³⁻⁴ = 5¹ = 5

밑이 같다는 판단, 지수의 덧셈과 뺄셈, 마지막 값 계산이 모두 답안에 남아야 한다.

그래프의 점으로 바꾸어 확인하기

이번에는 계산식이 아니라 지수함수 y=2^x의 그래프에서 x=1과 x=3인 점의 y값을 읽는다. 두 값은 각각 2와 8이므로

2·8 = 16 = 2⁴

이다. 그래프에서 읽은 두 함수값의 곱이 지수의 합인 1+3=4와 연결되는지 확인한다. 이어서 x=5와 x=2의 y값을 나누면

2⁵÷2² = 2³ = 8

이 된다. 새로운 표현에서도 밑이 2로 같고, 곱셈은 더하기, 나눗셈은 빼기라는 판단을 먼저 적었다면 지수법칙을 식에만 의존하지 않고 적용한 것이다.