삼성동고1수학과외: 두 문자 다항식의 기준 문자별 차수 읽기
문자가 두 개인 식에서 차수는 식 전체에 있는 가장 큰 지수를 무작정 고르는 값이 아니다. 먼저 어느 문자를 기준으로 볼지 정해야 한다. 삼성동에서 경기고등학교 수업과 프린트 복습을 마친 뒤 삼성중앙역 방향으로 이동해 짧은 자습시간을 확보할 때도, 다음 줄로 넘어가기 전 기준 문자를 답안에 남기는 습관이 필요하다.
가장 큰 지수와 기준 문자에 따른 차수는 다르다
다항식 3x4y2 - 5x2y3 + 7y5를 보자. x에 대한 차수를 묻는다면 각 항에서 x의 지수만 읽는다.
- 3x4y2에서 x의 지수는 4
- -5x2y3에서 x의 지수는 2
- 7y5에서 x의 지수는 0
따라서 x에 대한 차수는 4이다. 반면 y에 대한 차수는 2, 3, 5 중 가장 큰 값인 5이다. 식에 나타난 지수 중 5만 보고 x에 대한 차수도 5라고 말하면 기준 문자를 바꿔 읽은 오류가 된다.
답안에서 사라진 기준 표시
실제 풀이에서는 위 식 옆에 학생이 곧바로 “차수 5”라고 적고 다음 계산으로 넘어갔다. x에 대한 차수를 묻는 문제였지만, 어느 문자를 기준으로 읽었는지 표시하지 않았다. 또한 다음 줄로 넘어가기 전 ‘문자가 두 개인 다항식에서 어느 문자를 기준으로 차수를 볼지 정’하는 확인도 하지 않았다.
이 답은 y에 대한 차수라면 맞지만, x에 대한 차수라는 질문에는 맞지 않는다. 현재 상태는 지수를 계산하지 못하는 것이 아니라, 질문에서 지정한 문자를 식의 지수들 가운데 계속 추적하는 기준이 아직 불안정한 단계에 가깝다.
x를 먼저 고정하면 항별 판단이 보인다
수정할 때는 식 전체를 한 번에 보며 가장 큰 지수를 찾지 않고, 문제에서 요구한 문자를 식 위에 먼저 적는다.
x에 대한 차수: x의 지수만 비교 → 4, 2, 0 → 차수 4
같은 식을 y에 대해 다시 읽으면 y의 지수는 2, 3, 5이므로 y에 대한 차수는 5이다. 이처럼 한 식도 기준 문자에 따라 답이 달라질 수 있다. 각 항에서 기준 문자가 빠진 경우에는 그 문자의 지수를 0으로 보는 점도 함께 확인한다.
문자 표시를 남기는 짧은 훈련
연습지에는 계산 결과만 쓰지 않고 다음처럼 기준 문자를 한 줄로 남긴다.
주어진 식: 2a3b4 - 6a5b + b2
a에 대한 차수: a의 지수 3, 5, 0 중 최댓값이므로 5
b에 대한 차수: b의 지수 4, 1, 2 중 최댓값이므로 4
이때 ‘가장 큰 지수’를 먼저 찾는 대신 ‘a에 대한’, ‘b에 대한’이라는 문자를 동그라미 치고 해당 문자만 따라가야 한다. 답안에 이 표시가 남아 있는지 확인하면 기준 문자를 생략하는 행동도 바로 드러난다.
표를 식과 그래프로 옮길 때도 관계를 먼저 결정하기
변형 확인에서는 차수 문제가 아닌 표를 제시한다. 예를 들어 다음 표에서 x와 y의 관계를 판단하게 한다.
- x: 1, 2, 4
- y: 6, 12, 24
각 비율이 y/x = 6으로 일정하므로 식은 y = 6x이고 정비례이다. 반대로 x와 y가 각각 1, 2, 3과 12, 6, 4라면 곱 xy = 12가 일정하므로 y = 12/x인 반비례 관계이다.
이 새로운 문제에서는 학생이 표의 변화 관계를 먼저 계산한 뒤 식을 세우고, 그 식의 그래프가 정비례인지 반비례인지 혼자 결정하는지 본다. 두 문자 다항식에서는 기준 문자를 고정하고, 표에서는 일정한 비율 또는 곱을 고정하는 방식으로 질문의 대상을 먼저 정하는지가 확인 지점이다.