삼성동고3수학과외

공비의 범위를 먼저 확인하는 등비수열의 극한 풀이

삼성동에서 경기고등학교 수업을 마친 뒤 삼성중앙역 주변 이동 시간을 고려해 자습 문제를 풀던 고3 학생은 등비수열의 극한에서 공식을 먼저 대입하는 습관을 보였다. 같은 강남구의 숙명여자고등학교, 단국대학교사범대학부속고등학교 등은 참고 학교이며 삼성동 지역 내 학교와는 구분해 학습 사례를 적용했다.

공식보다 먼저 확인할 공비

학생이 다음 문제를 풀었다.

수열 a_n=5·r^n-1에 대하여 r=1일 때 lim_n→∞a_n을 구하여라.

학생의 풀이에는 다음과 같이 적혀 있었다.

오답: |r|<1이면 lim_n→∞5r^n-1=0이다. r=1도 등비수열이므로 lim_n→∞a_n=0.

이 식은 틀렸다. r=1이면 모든 항이 a_n=5·1^n-1=5이므로 수열은 0이 아니라 5에 수렴한다. 등비수열의 극한 공식은 공비의 절댓값이 1보다 작을 때만 적용할 수 있다.

• |r|<1: r^n-1→0이므로 a_n→0
• r=1: 모든 항이 초기항과 같으므로 a_n→a₁
• r>1 또는 r≤-1: 일반적으로 유한한 극한이 존재하지 않는다

틀린 줄을 표시하고 역검산하기

학생은 ‘r=1도 |r|<1에 포함된다’고 판단한 줄에 밑줄을 그었다. 이후 조건을 직접 대입해 |1|=1임을 확인하고, |r|<1이 성립하지 않으므로 0으로 보내는 공식을 삭제했다.

수정한 풀이는 다음과 같다.

수정: r=1이므로 a_n=5·1^n-1=5. 따라서 lim_n→∞a_n=5.

첫째 항, 둘째 항, 다섯째 항을 역계산하면 모두 5이고, 일반항 자체가 상수이므로 결과 5가 각 항과 일치하는지도 확인했다.

공비와 부호를 바꾼 독립 검증

같은 유형을 반복하지 않고 초기항과 공비를 바꾸어 다음 문제를 제시했다.

수열 b_n=-12·(−1/2)^n-1의 극한을 구하여라.

이번에는 |−1/2|=1/2<1을 먼저 확인했다. 따라서 (−1/2)^n-1→0이고, 초기항이 −12인 것은 극한값에 영향을 주지 않으므로

lim_n→∞b_n=0

이다. 실제 항은 −12, 6, −3, 3/2로 부호가 번갈아 바뀌지만 절댓값이 점점 작아져 0에 가까워진다. 학생은 이제 계산 전에 공비의 부호와 절댓값, 경계값 포함 여부를 확인하는 방식으로 풀이를 마무리했다.