도곡동고2수학과외, 분수 지수와 근호를 식의 관계로 다시 확인하기
도곡동의 숙명여자고등학교, 중앙대학교사범대학부속고등학교, 은광여자고등학교처럼 학교별 시험 범위와 수행평가 일정이 다를 때는 평일 귀가 후 짧은 시간에도 식의 구조를 정확히 읽는 연습이 필요하다. 특히 지수법칙 단원에서는 계수나 밑의 모양이 달라지면 이전에 외운 표현을 그대로 적용하지 않고, 분수 지수의 분모와 분자를 다시 확인해야 한다.
82/3에서 분모 3을 놓친 풀이
다음 식을 근호로 나타내는 과정에서 답안에
82/3 = √(82)
이라고 적은 경우가 있었다. 이 식은 제곱근을 뜻하므로 분모가 2인 지수에 해당한다. 분수 지수의 정확한 관계는
am/n = n√(am) = (n√a)m
이다. 따라서
82/3 = 3√(82) = (3√8)2 = 22 = 4
가 된다. 잘못된 식의 결과는 √64=8이므로 실제 값 4와도 다르다. 여기서 분자 2는 거듭제곱의 횟수이고, 분모 3은 세제곱근의 차수를 결정한다.
근호로 바꾸기 전에 네모로 확인할 것
풀이 줄의 첫 부분에 다음 세 항목을 직접 적게 한다.
- 분모: 3 → 세제곱근
- 분자: 2 → 제곱
- 밑: 8 → 3√8=2인지 확인
그 뒤에
□ n=3, □ m=2, □ 3√8=2
처럼 통과 여부를 표시한다. 이 확인을 거치면 82/3을 제곱근으로 바꾸는 오류를 계산 전에 차단할 수 있다. 또한 양의 밑인 8에서는 실수 범위에서 위 변환을 바로 적용할 수 있다.
계수와 밑의 위치가 바뀐 식에서 공식 선택하기
이제 다음과 같이 계수와 지수의 위치가 달라진 식을 제시한다.
3·272/3
먼저 밑 27과 분모 3을 연결해야 한다.
272/3 = 3√(272) = 9
따라서 전체 식은
3·272/3 = 3·9 = 27
이다. 계수 3은 지수의 일부가 아니므로 32/3으로 묶으면 안 된다. 답안에는 먼저 분수 지수 부분을 근호로 바꾼 뒤 계수를 곱한 중간식을 남기게 한다.
새 밑에서도 세제곱근을 유지하는가
마지막으로 밑을 바꾼 식을 혼자 처리하게 한다.
2·163/4
이때 분모 4이므로 네제곱근을 사용해야 한다.
163/4 = 4√(163) = 8
따라서
2·163/4 = 2·8 = 16
이 된다. 네모 확인란에 □ 분모 4 → 네제곱근, □ 분자 3 → 세제곱을 스스로 채웠다면, 계수와 밑이 달라진 상황에서도 분수 지수의 관계를 다시 선택한 것으로 볼 수 있다. 반대로 √(163)처럼 제곱근을 적었다면 이전의 조건 누락이 반복된 것이므로, 계산을 진행하기 전에 분모와 근호의 차수를 다시 대조해야 한다.