도곡동 고3수학과외에서 확인한 수열 극한의 적용 조건
도곡동에는 숙명여자고등학교, 중앙대학교사범대학부속고등학교, 은광여자고등학교가 있고, 같은 강남구에는 단국대학교사범대학부속고등학교와 경기여자고등학교가 참고 학교로 포함된다. 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간이 다르므로 짧은 학습 시간에도 풀이 결과보다 극한 성질을 적용할 조건을 먼저 확인하는 연습이 필요하다.
앞 문제의 결론을 그대로 옮긴 오답
학생은 다음 수열의 극한을 구하면서 분자와 분모의 최고차항 계수만 비교했다.
\[ b_n=\frac{4n^2-3}{2n-5} \]
학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
오답: \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\frac{4}{2}=2\)
이 식은 틀렸다. 최고차항 계수의 비 \(\frac42\)를 극한값으로 사용하는 방법은 분자와 분모의 차수가 같을 때만 적용된다. 여기서는 분자의 차수가 2이고 분모의 차수가 1이므로 두 항의 성장 정도가 다르다.
식 전체를 \(n\)으로 나누면 조건이 분명해진다.
\[ b_n=\frac{4n^2-3}{2n-5} =\frac{n(4n-\frac3n)}{n(2-\frac5n)} =\frac{4n-\frac3n}{2-\frac5n} \]
\(n\to\infty\)일 때 분자는 \(+\infty\), 분모는 \(2\)로 가까워지므로
\[ \lim_{n\to\infty}b_n=+\infty \]
따라서 이 수열은 유한한 극한값을 갖는 수렴형이 아니라 발산형 수열이다. 앞에서 풀었던 같은 차수의 식에서 얻은 결론을 새로운 식에 그대로 적용한 것이 핵심 오류였다.
별표를 이용한 수정 절차
- 틀린 줄 표시: \(\displaystyle \frac{4}{2}=2\)라고 쓴 줄에 별표를 붙인다.
- 조건 확인: 분자 차수는 2, 분모 차수는 1인지 확인한다.
- 식 수정: 최고차항 계수 비교 대신 \(n\)으로 나누어 \(\displaystyle \frac{4n-\frac3n}{2-\frac5n}\)으로 바꾼다.
- 대입 검산: \(n=100\)이면 \(\displaystyle b_{100}=\frac{39997}{195}\approx205.11\)이므로 2에 가까워지는 값이 아니다.
- 그래프 대조: \(n\)이 커질수록 항의 값이 위로 커지는지 그래프와 계산 결과를 함께 확인한다.
이 과정을 거치면 극한 계산은 단순히 계수를 읽는 일이 아니라 차수와 부호, 변수의 성장 관계를 판단하는 일임을 확인할 수 있다.
계수를 바꾼 독립 검증
같은 개념을 다음 문제로 다시 확인했다.
\[ c_n=\frac{-6n^2+5}{3n+1} \]
이번에도 분자의 차수가 분모보다 하나 높다. \(n\)으로 나누면
\[ c_n=\frac{-6n+\frac5n}{3+\frac1n} \]
분자는 \(-\infty\)로 가고 분모는 \(3\)으로 가므로
\[ \lim_{n\to\infty}c_n=-\infty \]
비교수열 \(\displaystyle d_n=-2n\)을 사용해도 같은 결론을 얻는다. 충분히 큰 \(n\)에서 \(c_n\)은 음의 방향으로 계속 커지므로 유한한 극한값 \(-2\)가 아니다. 학생은 새 식의 계수와 부호를 다시 확인한 뒤, 차수가 같을 때만 최고차항 계수의 비를 적용한다는 기준을 풀이 옆에 적어 두었다.