도곡동고1수학과외: 분수 계수 다항식의 통분과 동류항 정리
학교 프린트에서 다음 식을 정리할 때 풀이의 순서를 섞으면 계산은 진행된 것처럼 보여도 항의 종류가 바뀐다.
오답 예시
3x²와 2x를 문자에 x가 들어 있다는 이유로 한 종류의 항처럼 묶어 5x²로 적는 경우다. 그러나 x²와 x는 지수가 다르므로 동류항이 아니다.
분모를 없애는 일과 항을 합치는 일은 별개다
다음 식을 보자.
(1/2)x² + (2/3)x − 1/6 + (1/3)x² − (1/6)x + 1/2
먼저 각 항의 문자 부분을 기준으로 분류한다. x²항은 (1/2)x², (1/3)x², x항은 (2/3)x, −(1/6)x, 상수항은 −1/6, 1/2이다. 통분은 각 묶음의 분수 계수를 계산하기 위한 과정이고, 동류항 정리는 문자와 지수가 같은 항끼리만 더하는 과정이다.
따라서
(1/2 + 1/3)x² + (2/3 − 1/6)x + (−1/6 + 1/2)
= (3/6 + 2/6)x² + (4/6 − 1/6)x + (−1/6 + 3/6)
= (5/6)x² + (1/2)x + 1/3
처럼 정리한다. x²항의 계수와 x항의 계수를 통분할 수는 있지만, 서로 다른 문자 부분을 하나로 합칠 수는 없다.
표시하지 않고 넘긴 한 줄이 오답을 만든 장면
도곡동의 고등학교에서 교과서와 학교 프린트의 표현이 달라지는 주간에는, 평일 귀가 뒤 짧은 시간에 풀이 줄을 빠르게 이어 쓰다가 이 구분이 사라질 수 있다. 관찰된 풀이에서는 학생이 ‘분수 계수 정리’ 단계를 표시하지 않은 채 다음 줄로 넘어갔고,
3x² + 2x − 5
를 보고 3x²와 2x를 합쳐 5x²라고 적었다. 이는 통분을 하지 않은 오류이면서 동시에 동류항의 조건을 적용하지 않은 오류다. 3x²와 2x는 계수가 아니라 문자 부분이 다르므로 그대로 남겨야 한다.
오답 줄에서 다시 시작하는 수정 방식
수정할 때는 완성된 답만 지우지 않고, 잘못된 판단이 시작된 줄에 표시를 남긴다. 예를 들어 위 식에서는 먼저 다음처럼 항을 분리해 다시 쓴다.
3x² | 2x | −5
앞의 두 항은 각각 x²항과 x항이므로 합칠 수 없다. 분수 계수가 포함된 식이라면 다음과 같이 문자 부분을 먼저 고정한다.
(3/4)x² + (5/6)x − (1/3)x² + (1/6)x
x²항과 x항을 따로 계산하면
(3/4 − 1/3)x² + (5/6 + 1/6)x
= (9/12 − 4/12)x² + 1x
= (5/12)x² + x
이다. 3/4와 5/6을 한꺼번에 통분하는 것이 아니라, 같은 문자와 지수를 가진 항 안에서만 계수를 계산한다.
학교 일정 속에서 확인할 짧은 연결 고리
숙명여자고등학교, 중앙대학교사범대학부속고등학교, 은광여자고등학교처럼 도곡동 지역 내 학교의 시험 범위와 수행평가 일정은 서로 다를 수 있으므로 특정 학교의 출제 경향을 가정하지 않는다. 평일 귀가 시간이 짧은 날에는 교과서 예제 한 식과 학교 프린트의 표현이 다른 한 식을 나란히 놓고, ‘같은 문자·같은 지수’ 표시만 남기는 방식으로 훈련한다. 단국대학교사범대학부속고등학교와 경기여자고등학교는 같은 강남구의 참고 학교일 뿐 도곡동 소재 학교로 보지 않는다.
표현이 바뀐 문제에서 스스로 다시 세우기
훈련 뒤에는 앞의 식을 반복하지 않고, 학교 프린트처럼 항의 순서를 바꾼 중1 수준의 문자식 정리 문제를 제시한다.
7/8a − 1/4a² + 3/8a² − 5/8a
학생이 먼저 a²항과 a항을 구별하는지 확인한다.
(−1/4 + 3/8)a² + (7/8 − 5/8)a
= (−2/8 + 3/8)a² + 2/8a
= (1/8)a² + 1/4a
이때 이전에 필요한 것은 분수의 통분과 문자식에서 같은 항을 구별하는 기초뿐이다. 그 부분만 짧게 복구한 뒤, 풀이 시작 전에 항을 분류하고 같은 종류끼리만 통분하는 행동을 혼자 재현하는지 확인한다.