논현동고2수학과외 수업에서 지수법칙을 점검할 때는 식을 빠르게 정리하는 것보다 밑의 범위를 먼저 확인해야 한다. 논현동에는 해당 지역명 주소의 고등학교가 확인되지 않아, 강남구 내 숙명여자고등학교·단국대학교사범대학부속고등학교·경기여자고등학교·경기고등학교·중산고등학교 등의 통학권과 학교별 시험 범위를 함께 고려해 짧은 문제라도 풀이 근거를 남기는 방식으로 진행했다.
0지수에서 밑 0을 따로 제외해야 하는 이유
학생이 다음 식을 정리하며 첫 줄에 00=1이라고 적었다.
문제: 20 + 00 + 3-2의 값을 구하여라.
이 풀이에서 20=1, 3-2=1/9는 맞다. 그러나 00을 같은 규칙으로 1이라고 처리한 부분은 잘못이다. 지수법칙 a0=1은 밑 a가 0이 아닐 때 적용한다. 따라서 이 식은 실수 범위에서 00의 정의를 별도로 정하지 않으면 값이 정해지지 않는다.
음의 지수는 역수로 바꾸되 밑의 0 여부를 확인한다
음의 지수의 정의는 다음과 같다.
a-n = 1/an (a≠0, n은 양의 정수)
예를 들어
(-2)0 + 3-2 = 1 + 1/32 = 1 + 1/9 = 10/9
이다. 여기서 (-2)0은 밑이 -2로 0이 아니므로 1이고, 3-2은 1/9로 바꾼다. 반면 0-2은 1/02이 되어 정의되지 않는다. 음의 지수라고 해서 모든 밑에 적용되는 공식은 아니다.
오류가 보이면 네 항목 중 하나만 먼저 판별하기
변형문제에서 풀이가 이전 문제와 달라졌을 때는 조건·부호·범위·공식 중 어떤 부분이 틀렸는지 표시한다. 위 오답은 ‘공식’ 자체보다 조건을 빠뜨린 오류에 해당한다. 답안에는 다음처럼 적는다.
① 밑이 0이 아닌가 확인
② 지수가 0이면 a≠0인지 확인
③ 지수가 음수이면 a≠0인지 확인
④ 그 뒤에 0지수와 음의 지수 공식을 적용
이 순서를 적용하면 00은 공식 적용 대상에서 제외되고, 0-3도 역수 변환 전에 정의되지 않음을 판단할 수 있다.
밑과 부호를 동시에 바꾼 확인 문제
마지막에는 앞의 식을 그대로 반복하지 않고 밑과 연산 부호를 함께 바꿔 다음 문제를 제시했다.
검증 문제: (-1/2)0 - (-1/2)-2의 값을 구하여라.
먼저 밑 -1/2는 0이 아니므로 0지수와 음의 지수 공식을 사용할 수 있다.
(-1/2)0 - (-1/2)-2 = 1 - 1/((-1/2)2) = 1 - 1/(1/4) = 1 - 4 = -3
새 조건에서도 밑의 0 여부를 먼저 적고, 음의 지수를 역수로 바꾼 뒤 제곱의 부호를 처리했다면 풀이 순서가 유지된 것이다. 반대로 00=1을 기계적으로 적거나 0-2을 계산하려 한다면, 이전 풀이를 따라간 것이므로 밑의 조건부터 다시 점검해야 한다.